[CF850E]Random Elections

题目

传送门 to luogu

题意超级难懂，蛋疼

题目概要
有三个人，$\tt LuoLaoBa,XYX,ZXY$ ，不妨称其为 $A,B,C$ 。

另有 $2^n$ 个人，第 $i$ 个人有期待顺序，记为 $f_i$ ，满足 $\{f_i(A),f_i(B),f_i(C)\}=\{1,2,3\}$ 。

还会告诉你一个 $2^n$ 元函数 $g(x_1,x_2,x_3,\dots,x_{k})\in\{0,1\}$ ，其中 $x_i\in\{0,1\},k=2^n$ 。

对于 $A,B$ 之间的 $\tt battle$ ，记 $x_i=[f_i(A)>f_i(B)]$ ，若 $g(x_1,x_2,x_3,\dots,x_k)=1$ 则 $A$ 胜出，否则 $B$ 胜出。

为了比赛的公正，数据保证 $g(1-x_1,1-x_2,\dots,1-x_k)=1-g(x_1,x_2,\dots,x_k)$ （否则 $A,B$ 与 $B,A$ 的结果不同）。

若 $f_i$ 均是随机的（即，$\langle f_i(A),f_i(B),f_i(C)\rangle$ 在 $\{1,2,3\}$ 的排列中等概率随机），求出这个事件发生的概率：$A,B,C$ 两两进行 $\tt battle$ 后，至少有一人赢了两场。

输出时乘以 $6^n$ ，这样就一定会输出一个整数。答案或许很大，最好输出对 $10^9+7$ 取模的值。

数据范围与提示
$n\le 20$ 。

思路

首先注意到，$A$ 赢了两场，$B,C$ 就不可能有赢了两场的情况。所以直接讨论一个人的情况，然后乘 $3$ 就好。

讨论 $C$ 对 $A,B$ 的对局情况。不妨设为 $a,b$ 。根据题意，显然有

$g(a)g(b)=1$

然后我们继续讨论方案数。随便讨论一个人 $i$ 吧，若 $a_i=1,b_i=0$ ，那么唯一的可能就是 $f_i(A)>f_i(C)>f_i(B)$ 。反之，若 $a_i=b_i$ 便有两种情况。所以最后的情况数量就是

$2^{d(a\oplus b)}$

其中 $d$ 表示二进制下 $0$ 的个数。所以答案是

$ans=\sum_{a}\sum_{b}2^{d(a\oplus b)}\cdot g(a)\cdot g(b)$

啊哈，令 $t_x=\sum_{a\oplus b=x}g(a)g(b)$ ，则

$ans=\sum_{x}2^{d(x)}\cdot t_x$

而 $t_x$ 是可以用 $\tt FWT-xor$ 求出来的，所以复杂度就是 $\mathcal O(n\cdot 2^n)$ 的，战斗结束。

代码

洞洞拐，洞洞拐，请自行写出代码，请自行写出代码，OVER！