[XJOI趣味賽]病毒研究

題目

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題意概要
有一個未知的數字 $x\in[1,a_n]$ 。$[1,a_n]$ 被 $a_1,a_2,a_3,\dots,a_{n-1}$ 切割成了 $n$ 段，具體來說，第 $i$ 段爲 $(a_{i-1},a_i]$ ，認爲 $a_0=0$ 。你時刻可以知道 $x$ 位於哪一段。現在請問，如果 $x$ 取遍 $[1,a_n]$ ，讓 $x$ 一定位於第一段，最小代價之和？

操作有 $m$ 種可選。第 $i$ 種：花費 $v_i$ ，讓 $x$ 減小 $w_i$ 。

如果不能使 $x$ 一定位於第一段，輸出 $-1$ 即可。

數據範圍與提示
$m\le a_n\le 2\times 10^3$ 且 $a$ 嚴格遞增。$v_i\le 10^6$ 。

思路

動態規劃。用 $f(l,r)$ 表示，已知 $x\in[l,r]$ ，$x$ 取遍 $[l,r]$ 的最小代價和。注意：並非“最小代價”之和，而是最小“代價和”。

轉移是很簡單的。如果 $\exist k\in[1,n)$ 使得 $l\le a_k<r$ ，那麼 $f(l,r)=f(l,a_k)+f(a_k+1,r)$ ；否則，枚舉一個操作，$f(l,r)=f(l-w_i,r-w_i)+(r-l+1)v_i$ 。

爲什麼一定是最小“代價和”呢？因爲你並不知道 $x$ 究竟是誰，所以你得讓 平均值 最小，即“代價和”最小。平均值越小，期望就越小，因爲 $x$ 是等概率的落到 $[l,r]$ 內的。

現在我們有了一個 $\mathcal O(n^3)$ 的算法，可以通過 $64pts$ 。

考慮優化。狀態數太多——有的狀態很沒用。我們進行操作的目的是獲得更多信息，所以我們要儘量讓新區間包含不同的段，就可以進一步區分。

完全揹包 求出轉移，我們規定轉移之後的 $[l,r]$ 必須包含不同的段，或者全部在第一段。此時，有用的狀態只可能是某個段的前綴、後綴，所以總狀態數是 $\mathcal O(n)$ 的。

然後就做完了。複雜度 $\mathcal O(n^2)$ 。

代碼

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long int_;
inline int readint() {
	int a = 0; char c = getchar(), f = 1;
	for(; c<'0' or c>'9'; c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; '0'<=c and c<='9'; c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}
void writeint(int_ x){
	if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
	if(x > 9) writeint(x/10);
	putchar((x%10)^48);
}
# define MB template < typename T >
MB void getMax(T &a,const T &b){ if(a < b) a = b; }
MB void getMin(T &a,const T &b){ if(b < a) a = b; }
# define FOR(i,n) for(int i=0; i<(n); ++i)

const int_ infty = (1ll<<60)-1;
const int MaxN = 2005;
int a[MaxN], n, m;

int_ dp[MaxN][MaxN], v[MaxN];
int deep;
int_ work(int l,int r,int k){
	if(r <= a[1]) return 0;
	if(l <= a[k]){ // 已經確保 a[k] < r
		int_ tmp = work(l,a[k],k-1);
		tmp += work(a[k]+1,r,k);
		return min(infty,tmp); // 確保不超過infty
	}
	if(dp[l][r] != -1) return dp[l][r];
	int_ &d = dp[l][r] = infty;
	for(int i=1; i<l; ++i){
		if(r-i == a[k]) -- k;
		if(k and a[k] < l-i) continue; // 沒切開
		getMin(d,work(l-i,r-i,k)+(r-l+1)*v[i]);
	}
	return d;
}

int main(){
	for(int T=readint(); T; --T){
		n = readint(), m = readint();
		for(int i=1; i<=n; ++i)
			a[i] = readint();
		for(int j=1; j<=a[n]; ++j)
			v[j] = infty;
		for(int i=1; i<=m; ++i){
			int val = readint(), w = readint();
			for(int j=w; j<=a[n]; ++j)
				getMin(v[j],v[j-w]+val);
		}
		for(int i=1; i<=n; ++i){
			for(int j=a[i-1]+1; j<=a[i]; ++j)
				dp[j][a[i]] = -1;
			for(int j=a[i]+1; j<=a[i+1]; ++j)
				dp[a[i]+1][j] = -1;
		}
		int_ ans = 0;
		for(int i=1; i<=n and ans<infty; ++i){
			int_ tmp = work(a[i-1]+1,a[i],i-1);
			if(tmp >= infty) ans = infty;
			else ans += tmp;
		}
		if(ans >= infty)
			putchar('-'), putchar('1');
		else writeint(ans); putchar('\n');
	}
	return 0;
}