题目
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题意概要
有一个未知的数字 。 被 切割成了 段,具体来说,第 段为 ,认为 。你时刻可以知道 位于哪一段。现在请问,如果 取遍 ,让 一定位于第一段,最小代价之和?
操作有 种可选。第 种:花费 ,让 减小 。
如果不能使 一定位于第一段,输出 即可。
数据范围与提示
且 严格递增。 。
思路
动态规划。用 表示,已知 , 取遍 的最小代价和。注意:并非“最小代价”之和,而是最小“代价和”。
转移是很简单的。如果 使得 ,那么 ;否则,枚举一个操作, 。
为什么一定是最小“代价和”呢?因为你并不知道 究竟是谁,所以你得让 平均值 最小,即“代价和”最小。平均值越小,期望就越小,因为 是等概率的落到 内的。
现在我们有了一个 的算法,可以通过 。
考虑优化。状态数太多——有的状态很没用。我们进行操作的目的是获得更多信息,所以我们要尽量让新区间包含不同的段,就可以进一步区分。
完全揹包 求出转移,我们规定转移之后的 必须包含不同的段,或者全部在第一段。此时,有用的状态只可能是某个段的前缀、后缀,所以总状态数是 的。
然后就做完了。复杂度 。
代码
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long int_;
inline int readint() {
int a = 0; char c = getchar(), f = 1;
for(; c<'0' or c>'9'; c=getchar())
if(c == '-') f = -f;
for(; '0'<=c and c<='9'; c=getchar())
a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
return a*f;
}
void writeint(int_ x){
if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
if(x > 9) writeint(x/10);
putchar((x%10)^48);
}
# define MB template < typename T >
MB void getMax(T &a,const T &b){ if(a < b) a = b; }
MB void getMin(T &a,const T &b){ if(b < a) a = b; }
# define FOR(i,n) for(int i=0; i<(n); ++i)
const int_ infty = (1ll<<60)-1;
const int MaxN = 2005;
int a[MaxN], n, m;
int_ dp[MaxN][MaxN], v[MaxN];
int deep;
int_ work(int l,int r,int k){
if(r <= a[1]) return 0;
if(l <= a[k]){ // 已经确保 a[k] < r
int_ tmp = work(l,a[k],k-1);
tmp += work(a[k]+1,r,k);
return min(infty,tmp); // 确保不超过infty
}
if(dp[l][r] != -1) return dp[l][r];
int_ &d = dp[l][r] = infty;
for(int i=1; i<l; ++i){
if(r-i == a[k]) -- k;
if(k and a[k] < l-i) continue; // 没切开
getMin(d,work(l-i,r-i,k)+(r-l+1)*v[i]);
}
return d;
}
int main(){
for(int T=readint(); T; --T){
n = readint(), m = readint();
for(int i=1; i<=n; ++i)
a[i] = readint();
for(int j=1; j<=a[n]; ++j)
v[j] = infty;
for(int i=1; i<=m; ++i){
int val = readint(), w = readint();
for(int j=w; j<=a[n]; ++j)
getMin(v[j],v[j-w]+val);
}
for(int i=1; i<=n; ++i){
for(int j=a[i-1]+1; j<=a[i]; ++j)
dp[j][a[i]] = -1;
for(int j=a[i]+1; j<=a[i+1]; ++j)
dp[a[i]+1][j] = -1;
}
int_ ans = 0;
for(int i=1; i<=n and ans<infty; ++i){
int_ tmp = work(a[i-1]+1,a[i],i-1);
if(tmp >= infty) ans = infty;
else ans += tmp;
}
if(ans >= infty)
putchar('-'), putchar('1');
else writeint(ans); putchar('\n');
}
return 0;
}