【51nod 2026】Gcd and Lcm

題目

已知 f(x)=∑d|xμ(d)∗d
現在請求出下面式子的值
∑ni=1∑nj=1f(gcd(i,j))∗f(lcm(i,j))
由於值可能過大所以請對 10^9+7 取模
n≤109

分析

f 爲積性函數，
因爲lcm(i,j) 、gcd(i,j) 的任意一個質因子的指數和i 、j 其中一個的相同。
對於每個質因子分開考慮， f(gcd(i,j))f(lcm(i,j))=f(i)f(j)

ans=∑i=1n∑j=1nf(i)f(j)

=(∑i=1nf(i))2

現在考慮如何求∑ni=1f(i)

=∑i=1n∑d|iμ(d)∗d

=∑i=1n∑d=1⌊ni⌋μ(d)∗d

=∑d=1nμ(d)∗d⌊nd⌋

設F(d)=μ(d)∗d,S(n)=∑ni=1F(i)
發現F∗id=e （因爲∑d|nμ(d)∗d∗⌊nd⌋ =[n=1])
於是

1=∑i=1n∑d|iμ(d)∗d∗⌊id⌋

設T=⌊id⌋

=∑T=1nT∑d|Tμ(d)∗d

=∑T=1nT∑d=1⌊nT⌋μ(d)∗d

=∑T=1nTS(⌊nT⌋)

於是

S(n)=1−∑T=2nTS(⌊nT⌋)

杜教篩一下.
ans=S(n)2

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
const int maxlongint=2147483647;
const long long mo=1e9+7;
const int lim=1e5+7;
const int N=10000005;
using namespace std;
#define sqr(x) (1ll*(x)*(x)%mo)
#define val(x,y) (1ll*(y-x+1)*(x+y)/2%mo)
int p[N],mu[N],n,ha[lim+5][2],s[N],ans;
bool bz[N];
int get(int v)
{
    int x;
    for(x=v%lim;ha[x][0] && ha[x][0]!=v;(++x)-=x>=lim?lim:0);
    return x;
}
int S(int m)
{
    if(m<=N-5) return s[m];
    int pos=get(m);
    if(ha[pos][0]) return ha[pos][1];
    ha[pos][0]=m;
    int la=0,sum=0;
    for(int i=2;i<=m;i=la+1)
    {
        la=m/(m/i);
        sum=(1ll*sum+1ll*val(i,la)*S(m/i))%mo;
    }
    return ha[pos][1]=(1-sum+mo)%mo;
}
int main()
{
    freopen("2026.in","r",stdin);
    //freopen("2026.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    mu[1]=s[1]=1;
    for(int i=2;i<=N-5;i++)
    {
        if(!bz[i]) mu[p[++p[0]]=i]=-1;
        s[i]=(s[i-1]+mu[i]*i+mo)%mo;
        for(int j=1,k;j<=p[0] && (k=i*p[j])<=N-5;j++)
        {
            bz[k]=true;
            if(i%p[j]==0) break;
            mu[k]=-mu[i];
        }
    }
    int la=1;
    for(int i=1;i<=n;i=la+1)
    {
        la=n/(n/i);
        ans=(1ll*ans+1ll*(S(la)-S(i-1)+mo)*(n/i))%mo;
    }
    printf("%lld",sqr(ans));
}