從本質出發推導三大座標系下的三大方程（二）——散度方程

對於很多數學和工程問題，我們常常需要使用到梯度、散度和旋度方程，而有的時候，在使用這些方程時，我們卻對它們其中的數學、物理意義不甚清楚，結果便是看着很多在此基礎上建立的公式而一頭霧水。這篇文章便從這三大方程的本質入手，推導它們在三大經典座標系下的形式，揭露其”廬山真面目“！

 

散度公式

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散度的意義

       維基百科對散度是這麼定義的：

散度或稱發散度，是向量分析中的一個向量算子，將向量空間上的一個向量場（矢量場）對應到一個標量場上。散度描述的是向量場裏一個點是匯聚點還是發源點，形象地說，就是這包含這一點的一個微小體元中的向量是“向外”居多還是“向內”居多。

       例如，在空氣動力學上，速度散度的物理意義是單位體積運動流體的體積變化率（參考安德森教授的《空氣動力學基礎》）。

       在定義向量場的散度前（散度是向量場獨有的），首先要引入通量的概念。給定一個三維空間中的向量場$\vec{A}$以及一個簡單有向曲面$\vec{\Sigma}$，則向量場$\vec{ A}$通過曲面$\vec{\Sigma}$的通量就是曲面每一點$\vec{x}$上的場向量$\vec{A}(\vec{x})$在曲面法向方向上的分量的積分:
$\Phi_{\vec{A}}(\vec{x}) = \iint_{\Sigma}^{ }\vec{A}\cdot\vec{n}dS$
其中$dS$是積分的面積元，$\vec{n}$是$\vec{\Sigma}$在點$(x,y,z)$處的單位法向量。如果曲面是封閉的，例如球面，那麼通常約定法向量是從裏朝外的，所以這時候的通量是描述曲面上的場向量朝外的程度。

       通量描述了一固定區域（也就是 $\vec{\Sigma}$）上向量場的流通傾向，散度在某點的值則是這個性質的在這點的局部描述，也就是說，從散度在一點的值，我們可以看出向量場在這點附近到底傾向發散還是收斂。要算某一點$（ x,y,z）$處的散度，先求包含這一點的某一個封閉曲面 $\vec{\Sigma}$的通量 $\Phi_{\vec{A}}(\vec{x})$除以封閉曲面$\vec{\Sigma}$圍起來的微小體元 $\delta V$的體積 （這個體積用 $\left|\delta V\right|$表示）得到的比值，矢量場$\vec{A}$在點 $(x,y,z)$的散度即是這個比值在體積微元$\delta V$趨向於點$(x,y,z)$時的極限。用數學公式表示即：
$div\vec{A}(\vec{x}) = \lim_{\delta V\rightarrow {\vec{x}}}\oint_{\Sigma}^{ }\frac{\vec{A}\cdot \vec{n}}{\left|\delta V\right|}dS = \lim_{\delta V\rightarrow {\vec{x}}}\oint_{\Sigma}^{ }\frac{\Phi_{\vec{A}}(\vec{\Sigma})}{\left|\delta V\right|}dS$

我們通常使用哈密頓算子來表示，則向量場的$\vec{A}$的散度記作：
$\triangledown \cdot \vec{A}$ 。

       我們可以拿點電荷來舉個例子：

圖2.1 點電荷

    我們知道，電場強度（矢量）乘以面積（矢量）就是電通量，根據上面通量的定義，我們可以得到電通量其實就是電場強度的通量，那麼，在某點處電場強度的散度就是當封閉曲面無限縮小到那個點上時通過這個無限小的封閉曲面的電通量。結合上圖我們知，微元體1的外表面的電通量爲0，而微元體2的外表面的電通量不爲0，所以微元體1處的電場強度的散度爲0，而微元體2處的電場強度的散度不爲0。我們可以把電荷看成是一個水泵，而把電場強度看成是水，當封閉曲面內不包含“水泵”時，當然其內部的“水量”肯定不會變化（多少水流入就有有多少水流出），顯然散度就爲0了，反之，當其內包含“水泵”時，則其內的水量就會發生變化，此時散度就不會爲0，並且這個“水泵”功率越大，則其內部水量變化越劇烈，散度的絕對值就越大，所以說，散度的物理意義是用來描述矢量場的強度的。

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笛卡爾座標系下的散度公式

       笛卡爾座標系下的散度公式的形式我們已經很熟悉了，但我們往往忘了它是怎麼來的，我們的大腦早已把這個公式當成了公理，所以，這裏我們就來回顧一下笛卡爾座標系下散度公式是怎麼來的。

       上面我們已經提到過利用散度公式，我們可以將一個封閉曲面的第二類曲面積分轉化爲這個封閉曲面包圍區域的體積分，現在我們將這個封閉曲面縮的無窮小，這樣我們就能將這個曲面包圍的區域近似看成長方體（微元體可以看成任意形狀，但看成長方體方便推導）。

圖2.2 笛卡爾座標下的微元體

       接下來我們來推導一下散度公式,我們假設這個空間內存在一個矢量場$\vec{A}$,易知這個微元體的體積可以表示爲$dV = dxdydz$。接下來，我們把目光聚焦於x方向上的通量，因爲$\vec{A}$可以用$(A_{x},A_{y},A_{z})$表示，同樣，$d\vec{S}$可用$(S_{x},S_{y},S_{z})$表示（注意：這裏S的下標表示其對應面的外法線向量的方向），這樣，我們便可以很輕鬆地得到x方向上的通量了：

• 通過ADHE的通量爲$A_{x} \cdot dydz$,通過BCGF的通量爲$(A_{x}+dA_{x}) \cdot dydz$,則x方向上的通量爲$(A_{x}+dA_{x}) \cdot dydz-A_{x} \cdot dydz = dA_{x} \cdot dydz$
• 同理，y方向上的通量爲：$dA_{y} \cdot dxdz$
• z方向上的通量爲：$dA_{z} \cdot dxdy$

       我們回過頭再看一下散度定義，我們現在已經求得了整個微元封閉曲面的通量，而且也知道了該封閉曲面所圍成的體積，兩者相除不就是我們需要的散度嗎。
$\triangledown \cdot \vec{A} = \frac{dA_{x} \cdot dydz+dA_{y} \cdot dxdz+dA_{z} \cdot dxdy}{dxdydz}=\frac{dA_{x}}{dx}+\frac{dA_{y}}{dy}+\frac{dA_{z}}{dz} = (\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})(A_{x},A_{y},A_{z})$
(ps:這裏的x,y,z爲獨立座標，所以偏導數和全導數是一致的)
       這樣我們就推導得到了，我們所熟悉的笛卡爾座標系下的散度公式：$\triangledown \cdot \vec{A}=\frac{\partial A_{x}}{\partial x} + \frac{\partial A_{y}}{\partial y} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z}$

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柱面座標系下的散度公式

       柱面座標系下的散度公式對大多數人來說就比較陌生了，但其推導過程與笛卡爾座標系下完全一致，廢話少說，開幹：

圖2.3 柱面座標下的微元體

• $\rho$方向上的通量爲$(A_{\rho}+dA_{\rho}) \cdot(\rho + d\rho)d\theta dz-A_{\rho} \cdot \rho d\theta dz$
• $\theta$方向上的通量爲：$(A_{\theta}+dA_{\theta}) \cdot d\rho dz-A_{\theta} \cdot d\rho dz=dA_{\theta} \cdot d\rho dz$
• z方向上的通量爲：$(A_{z}+dA_{z}) \cdot \rho d\rho d\theta-A_{z} \cdot \rho d\rho d\theta=dA_{z} \cdot \rho d\rho d\theta$
• 並且，該微元體的體積爲：$dV=\rho d\rho d\theta dz$

       接着，我們把通量加起來然後除以體積即可得到散度，這裏$\rho$方向上通量除以體積稍微有點特殊，這裏單獨說一下。

$\frac{(A_{\rho}+dA_{\rho}) \cdot(\rho + d\rho)d\theta dz-A_{\rho} \cdot \rho d\theta dz}{\rho d\rho d\theta dz}=\frac{(A_{\rho} \cdot \rho)_{\rho + d\rho}d\theta dz-(A_{\rho} \cdot \rho)_{\rho}d\theta dz}{\rho d\rho d\theta dz}=\frac{1}{\rho} \cdot \frac{d(\rho A_{\rho})}{d\rho}$        所以，在柱面座標系下的散度公式爲：$\triangledown \cdot \vec{A}=\frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial(\rho A_{\rho})}{\partial\rho}+\frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial(A_{\theta})}{\partial\theta}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}$

 

球面座標系下的散度公式

       經過上面兩個座標系的推導，我想球面座標系散度公式的推導也就不在話下了（自己動下手吧，如果遇到困難可以在評論裏留言）。

圖2.4 球面座標下的微元體

       這裏我們直接放出球面座標系下的散度公式：

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參考資料

1、維基百科——散度
2、高等數學（西工大版本）