從本質出發理解掌握三大座標系下的三大方程（三）--旋度公式

對於很多數學和工程問題，我們常常需要使用到梯度、散度和旋度方程，而有的時候，在使用這些方程時，我們卻對它們其中的數學、物理意義不甚清楚，結果便是看着很多在此基礎上建立的公式而一頭霧水。這篇文章便從這三大方程的本質入手，推導它們在三大經典座標系下的形式，揭露其”廬山真面目“！

旋度公式

旋度的理解

​ 旋度，單從字面上不難看出，它是個描述旋轉劇烈程度的量，大自然中有很多旋轉的現象，例如水的漩渦、地球的自轉等，因此我們需要有個來描述這些旋轉現象劇烈程度的"工具"，於是，旋度就被先輩們提出來了。那麼，接下來的問題是，我們該如何定義某個物理量（必須是向量，理由見下文）的旋度呢？這便是我們接下來需要討論的問題。

​ 我相信，在閱讀本篇文章的讀者應該對環量不會陌生（如果您現在不清楚環量的概念，或者已經忘記環量的概念，筆者強烈建議您先去學習環量的概念後再閱讀此文），所謂環量，直白地講就是對空間中一條封閉的曲線做第二類曲線積分，環量代表着某一物理量在該曲線上的集度，因爲是第二類曲線積分，所以很明顯被積的物理量得是向量。舉個簡單的例子，你晨跑時繞着操場跑了一圈，這裏，操場便能被看成一條封閉曲線，而你繞着跑一圈的過程中，速度在操場上的投影繞操場的積分就是速度環量。這個繞操場跑的事件，我們可以看成是繞操場某一中心點旋轉的過程，想象一下，如果有兩個人在同一操場上的同一條跑道上用時不同地跑完了一圈，誰的速度環量大呢？答案很明顯，那個用時短的人速度環量大，因爲積分的路徑不變，速度提高了，速度積分自然也就增大了。我們也可以想象到跑的快的人繞操場的"旋轉"越快。從這個例子出發，我們很自然地能類推出在其它一些物理現象中，如果積分路徑相同，環量大的自然旋轉越劇烈。那麼，如果我們需要描述空間中的某個點所在區域上的旋轉劇烈程度呢？很簡單，點可以看成是個面積無窮小的曲面，我們只需要把積分曲線無限縮小，最終趨於一個點，我們把這時獲得的物理向量的環量除以該封閉積分曲線所包圍曲面的面積（無窮小），定義爲某一物理向量在該點處的環量密度，也就是旋度，旋度的大小就可以代表出該點所在區域的旋轉劇烈程度。

圖1.繞操場跑圈

笛卡爾座標系下的旋度公式

​ 我們現在已經知道了旋度是咋計算的，接下來就來推導一下它在三大座標系下的公式吧。老規矩，先來推導最經典的笛卡爾座標系下的旋度公式。

圖2.笛卡爾座標系

​ 上圖中，在D點處有個$\boldsymbol \omega$的角速度，我們知道，角速度也是個矢量，所以我們可以將它分解到$x、y、z$軸上，我們先來看繞$x$軸的旋轉。假設該空間中有個物理向量$\boldsymbol A$，其繞DCGH的環量我們分開來看，DC上，我們發現物理向量$\boldsymbol A$隨着y的改變也是變化的，但因爲我們現在已經把DCGH縮小到無限小，於是我們可以認爲物理向量$\boldsymbol A$沿着DC是單調變化的，我們可以得到以下不等式：
$A_y(x,y,z)dy \leqslant \int_{D}^{C}A_ydy\leqslant A_y(x,y+dy,z)dy$
根據夾逼準則，因爲$dy$趨於無窮小，所以最終得
$\int_{D}^{C}A_ydy=A_y(D點處的值)dy=A_y(x,y,z)dy$
同理，我們來算CG上（僅z變化）的積分：
$\int_{C}^{G}A_zdz=A_z(C點處的值)dz=A_z(x,y+dy,z)dz$
GH上（僅y變化）的積分：
$\int_{G}^{H}A_ydy=-A_y(H點處的值)dy=-A_y(x,y,z+dz)dy$
HD上（僅z變化）的積分：
$\int_{H}^{D}A_zdz=-A_z(D點處的值)dz=-A_z(x,y,z)dz$
所以，$\boldsymbol A$在DCGH上的積分爲：
$\oint_{DCHG}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l=A_y(x,y,z)dy+A_z(x,y+dy,z)dz-A_y(x,y,z+dz)dy-A_z(x,y,z)dz$
並且易得DCHG的面積爲$dydz$，我們將式6除以這個面積即可得到繞$x$軸旋轉引起的旋度：
$\frac{\oint_{DCHG}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l}{dydz}=\frac{dA_z}{dy}-\frac{dA_y}{dz}$
同理我們可以得到繞y軸旋轉引起的旋度：
$\frac{\oint_{DHEA}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l}{dzdx}=\frac{dA_x}{dz}-\frac{dA_z}{dx}$
繞z軸旋轉引起的旋度：
$\frac{\oint_{DABC}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l}{dxdy}=\frac{dA_y}{dx}-\frac{dA_x}{dy}$
將式7，8，9相加起來，我們即得到D點處的旋度：
$curl\;\boldsymbol A=(\frac{dA_z}{dy}-\frac{dA_y}{dz})\boldsymbol i+(\frac{dA_x}{dz}-\frac{dA_z}{dx})\boldsymbol j+(\frac{dA_y}{dx}-\frac{dA_x}{dy})\boldsymbol k$

柱面座標系下的旋度公式

圖3. 柱面座標系

​ 柱面座標系下旋度公式的推導過程和笛卡爾座標系下的旋度公式相同。我們同樣來考察D點處的旋度，將角速度分解到$\boldsymbol e_\rho、\boldsymbol e_\phi、\boldsymbol e_z$方向上，這裏我們以推導繞$\rho$軸旋轉引起的旋度爲例：

沿DC上的積分：
$\int_{D}^{C}A_\phi \rho d\phi=A_\phi(D點處的值)\rho d\phi=A_\phi(\rho,\phi,z) \rho d\phi$
沿CG上的積分：
$\int_{C}^{G}A_zdz=A_z(C點處的值)dz=A_z(\rho,\phi+d\phi,z)dz$
沿GH上的積分：
$\int_{G}^{H}A_\phi \rho d\phi=-A_\phi(H點處的值)\rho d\phi=-A_\phi(\rho,\phi,z+dz) \rho d\phi$
沿HD上的積分：
$\int_{H}^{D}A_zdz=-A_z(D點處的值)dz=-A_z(\rho,\phi,z)dz$
又因爲DCHG圍成的面積等於$\rho d\phi dz$，於是得繞$\rho$軸旋轉引起的旋度爲：
$\frac{\oint_{DCHG}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l}{\rho d\phi dz}=\frac{dA_z}{\rho d\phi}-\frac{dA_\phi}{dz}$
同理，繞$\phi$軸引起的旋度爲：
$\frac{\oint_{DHEA}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l}{dz d\rho}=\frac{dA_\rho}{dz}-\frac{dA_z}{d\rho}$
繞z軸引起的旋度爲:
$\frac{\oint_{DABC}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l}{\rho d\rho d\phi}=\frac{d(\rho A_\phi)}{\rho d\rho}-\frac{dA_z}{\rho d\phi}$
最終我們得到柱面座標系下的D點處的旋度公式：
$curl\; \boldsymbol A=(\frac{dA_z}{\rho d\phi}-\frac{dA_\phi}{dz})\boldsymbol e_\rho+(\frac{dA_\rho}{dz}-\frac{dA_z}{d\rho})\boldsymbol e_\phi+(\frac{d(\rho A_\phi)}{\rho d\rho}-\frac{dA_z}{\rho d\phi})\boldsymbol e_z$

球面座標系下的旋度公式

​ 有了笛卡爾座標系和柱面座標系的推導經驗，我相信你現在可以推導球面座標系下的旋度公式了，拿出紙筆動動手吧，如果在推導過程中有啥問題，可以在評論區留言哦！這裏我們直接給出球面座標系下的旋度公式，推導完成後你可以校對一下哦😀：

圖4. 球面座標系

球面座標系下的旋度公式爲：

感謝閱讀！

​ 與諸君共前行！

 
 
 
 
 

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參考文獻

1. Del in cylindrical and spherical coordinates - 維基百科(https://en.wikipedia.org/wiki/Del_in_cylindrical_and_spherical_coordinates)
2. 高等數學（西工大版本）