費解的開關 高斯消元

費解的開關
你玩過“拉燈”遊戲嗎？25盞燈排成一個5x5的方形。每一個燈都有一個開關，遊戲者可以改變它的狀態。每一步，遊戲者可以改變某一個燈的狀態。遊戲者改變一個燈的狀態會產生連鎖反應：和這個燈上下左右相鄰的燈也要相應地改變其狀態。
我們用數字“1”表示一盞開着的燈，用數字“0”表示關着的燈。下面這種狀態
10111
01101
10111
10000
11011
在改變了最左上角的燈的狀態後將變成：
01111
11101
10111
10000
11011
再改變它正中間的燈後狀態將變成：
01111
11001
11001
10100
11011
給定一些遊戲的初始狀態，編寫程序判斷遊戲者是否可能在6步以內使所有的燈都變亮。
輸入描述:
第一行有一個正整數n，代表數據中共有n個待解決的遊戲初始狀態。
以下若干行數據分爲n組，每組數據有5行，每行5個字符。每組數據描述了一個遊戲的初始狀態。各組數據間用一個空行分隔。
對於30%的數據，n≤5；
對於100%的數據，n≤500。
輸出描述:
輸出數據一共有n行，每行有一個小於等於6的整數，它表示對於輸入數據中對應的遊戲狀態最少需要幾步才能使所有燈變亮。
對於某一個遊戲初始狀態，若6步以內無法使所有燈變亮，請輸出“-1”。
輸入

3
00111
01011
10001
11010
11100

11101
11101
11110
11111
11111

01111
11111
11111
11111
11111

輸出

3
2
-1

一個點最多操作一次，$k_x$表示x點操作的次數,只能爲1/0，a,b,c,d分別是x旁邊的四個點
則有：
$A_xk_x \oplus A_ak_a \oplus A_bk_b \oplus A_ck_c \oplus A_dk_d=!V_x$
k就是所求變量，$min(\sum k_i)$即爲答案
A是係數，所以可以消元，消元之後不一定有唯一解，可能有多個自由變元

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Init(a,v) memset(a,v,sizeof(a))
#define lowbit(x) (x&(-x))
bool mat[30][30];
inline int nbit(int x){//返回x在二進制下1的個數
    int res=0;
    while(x){
        res++;
        x-=lowbit(x);
    }return res;
}
int gauss(int row,int col){
    for(int i=1;i<=row;++i){
        if(!mat[i][i]){
            int r=i;
            while(++r<=row)if(mat[r][i])break;
            if(r>row)continue;
            for(int j=i;j<=col;++j)swap(mat[i][j],mat[r][j]);
        }
        for(int r=1;r<=row;++r){
            if(r==i||mat[r][i]==0)continue;
            for(int j=i;j<=col;++j)mat[r][j]^=mat[i][j];
        }
    }
    //以上就是正常的消元
    int num=0;//自由變量的個數
    for(int i=1;i<=row;++i){
        if(mat[i][i]==0&&mat[i][col]==1)return -1;//無解
        if(mat[i][i]==0)num++;//+1
    }
    int res[30];//自由變元對應的係數（二進制）
    for(int i=1;i<=row-num;++i){
        res[i]=0;
        for(int j=row-num+1;j<col;++j)res[i]=(res[i]<<1)+mat[i][j];
    }
    int ans=7;
    //枚舉自由變量的取值
    for(int i=0;i<(1<<num);++i){
        int t_ans=nbit(i);//自由變元裏操作的次數
        for(int r=1;r<=row-num;++r)t_ans+=(nbit(res[r]&i)+mat[r][col])&1;
        //兩個二進制數按位與相當於對應二進制位相乘
        ans=min(ans,t_ans);
    }return ans>6?-1:ans;
}
char mp[8][8];
int dx[]={0,0,1,-1},dy[]={1,-1,0,0};
bool ok(int i,int j){return i>0&&i<6&&j>0&&j<6;}
int id(int i,int j){return (i-1)*5+j;}
int main() {
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        Init(mat,0);
        for(int i=1;i<=5;++i)scanf("%s",mp[i]+1);
        for(int i=1;i<=5;++i){
            for(int j=1;j<=5;++j){
                for(int k=0;k<4;++k){
                    int x=i+dx[k];
                    int y=j+dy[k];
                    if(ok(x,y))mat[id(i,j)][id(x,y)]=1;
                }
                mat[id(i,j)][id(i,j)]=1;
                mat[id(i,j)][26]=1-(mp[i][j]-48);
            }
        }
        printf("%d\n",gauss(25,26));
    }
    return 0;
}