CF662C Binary Table （快速沃爾什變換FWT）

題面

題解

我們會發現，如果單獨的一列或一行，它的答案是O1確定的，如果確定了每一行是否變換，那麼最後的答案也就簡單了許多，

如果確定了行的變換狀壓下來是x（即x的i位表示第i行是否變換，理解就行），那麼每列的狀態就要異或x，這沒問題吧

接着，其實它的行列是可以交換順序的，對答案沒有影響，狀態一定的列的最終貢獻都一樣，

所以就把狀態爲 i 的列的數量記爲 c[i]，方便計算，

然後，提前預處理出列的狀態爲 i 時單獨考慮的答案 f[i]（即反轉或不反轉的最小1數量），方便計算

若枚舉行的變換x，那麼

注意，xor的逆運算是xor！

於是，就轉變成了卷積，用FWT就行了，最後枚舉x算最小值完事

害怕答案會爆的朋友也可以使用取模，由於最終的答案肯定不會超過1e6，所以你的模數只要超過1e6就沒有影響答案。

ＣＯＤＥ

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#define MAXN (1<<20|5)
#define LL long long
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define ENDL putchar('\n')
#define rg register
#pragma GCC optimize(2)
//#pragma G++ optimize(3) 
//#define int LL
char char_read_before = 1;
inline int read() {
	int f = 1,x = 0;char s = char_read_before;
	while(s < '0' || s > '9') {if(s == '-') f = -1;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x = x * 10 - '0' + s;s = getchar();}
	char_read_before = s;return x * f;
}
inline int readone() {
	int x = 0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') s = getchar();
	char_read_before = 1;return s - '0';
}
int zxy = 1000000007; // 用來膜的
int inv2 = (zxy+1)/2;
inline int qm(LL x,int dalao) {return x >= dalao ? qm(x-dalao,dalao):x;}
int n,m,i,j,s,o,k;
inline void DWTXOR(int *s,int m) {
	for(int k = m;k > 1;k >>= 1) {
		for(int i = 0;i < m;i += k) {
			for(int j = i+(k>>1);j < i+k;j ++) {
				int s0 = s[j-(k>>1)],s1 = s[j];
				s[j] = qm((s0 +0ll+ zxy - s1) , zxy);
				s[j-(k>>1)] = qm((s0 +0ll+ s1) , zxy);
			}
		}
	}
	return ;
}
inline void IDWTXOR(int *s,int m) {
	for(int k = 2;k <= m;k <<= 1) {
		for(int i = 0;i < m;i += k) {
			for(int j = i+(k>>1);j < i+k;j ++) {
				int s0 = s[j-(k>>1)],s1 = s[j];
				s[j-(k>>1)] = qm((s0 +0ll+ s1) , zxy) *1ll* inv2 % zxy;
				s[j] = qm((s0 +0ll+ zxy - s1) , zxy) *1ll* inv2 % zxy;
			}
		}
	}
	return ;
}
inline void DWTOR(int *s,int m) {
	for(int k = m;k > 1;k >>= 1) {
		for(int i = 0;i < m;i += k) {
			for(int j = i+(k>>1);j < i+k;j ++) {
				int s0 = s[j-(k>>1)],s1 = s[j];
				s[j] = qm((s0 +0ll+ s1) , zxy);
			}
		}
	}
	return ;
}
inline void IDWTOR(int *s,int m) {
	for(int k = 2;k <= m;k <<= 1) {
		for(int i = 0;i < m;i += k) {
			for(int j = i+(k>>1);j < i+k;j ++) {
				int s0 = s[j-(k>>1)],s1 = s[j];
				s[j] = qm((s1 +0ll+ zxy - s0) , zxy);
			}
		}
	}
	return ;
}
inline void DWTAND(int *s,int m) {
	for(int k = m;k > 1;k >>= 1) {
		for(int i = 0;i < m;i += k) {
			for(int j = i+(k>>1);j < i+k;j ++) {
				LL s0 = s[j-(k>>1)],s1 = s[j];
				s[j-(k>>1)] = qm((s0 +0ll+ s1) , zxy);
			}
		}
	}
	return ;
}
inline void IDWTAND(int *s,int m) {
	for(int k = 2;k <= m;k <<= 1) {
		for(int i = 0;i < m;i += k) {
			for(int j = i+(k>>1);j < i+k;j ++) {
				int s0 = s[j-(k>>1)],s1 = s[j];
				s[j-(k>>1)] = qm((s0 +0ll+ zxy - s1) , zxy);
			}
		}
	}
	return ;
}
int A[MAXN],B[MAXN],as[MAXN];
int ct[MAXN],a[MAXN];
int main() {
	n = read();m = read();
	int M = 1<<n;
	for(int i = 1;i < M;i ++) {
		ct[i] = ct[i ^ lowbit(i)] + 1;
		A[i] = min(ct[i],n - ct[i]);
	}
	for(int i = 0;i < n;i ++) {
		for(int j = 1;j <= m;j ++) {
			s = readone();
			a[j] |= (s<<i);
		}
	}
	for(int i = 1;i <= m;i ++) B[a[i]] ++;
	DWTXOR(A,M);DWTXOR(B,M);
	for(int i = 0;i < M;i ++) as[i] = A[i] *1ll* B[i] % zxy;
	IDWTXOR(as,M);
	int ans = 0x7f7f7f7f;
	for(int i = 0;i < M;i ++) ans = min(ans,as[i]);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}