這是我的第一篇學習筆記，如有差錯，請海涵...
目錄
引子
首先，考慮這是兔子
數一數，會發現你有一隻兔子，現在，我再給你一隻兔子
再數一數，會發現什麼？沒錯，你有兩隻兔子，也就是說，1+1=2！
這就是算數的基本原理了，聰明的你懂了嗎？
好，我們可以學FWT了..
卷積形式
我們回憶一下多項式乘法的式子：
這個可以用FFT或NTT優化到O(nlogn)求出每一個Ci，但不是本章的重點，只是引出卷積的概念：
而FWT主要是解決以下三種卷積形式：
算法流程
卷積的算法原理就是把一個數列快速轉換成另一種數列，然後每一位元素之間就可以直接單獨相乘計算，最後再把答案數列快速轉換回來。
FFT體現這個原理的方式就是把多項式轉換成點值表達式，然後由於每個點的橫座標相同，縱座標直接乘起來就得到最終的點值表達式，最後把答案的多項式表達通過點值表達式解出來。
那FWT怎麼做呢？
首先就是數列長度的問題，我們知道，多項式乘法最終會得到一個長爲lenA+lenB-1的多項式，而考慮位運算的卷積——很容易想出，最終的數列長度一定是
我們設數列A的轉換數列是DWT(A)，轉換後的數列A的原數列是IDWT(A)
既然它是位運算，那麼我們就按位分治
我們從二進制最高位考慮起，每次把當前位爲0或1的元素分開成兩個數列，很顯然，由於數列長度爲
那麼
這裏的“{ , }”是把兩個數列前後拼一起，A+B是把兩個數列排頭對齊，然後每一位相加。
具體的係數a,b,c,d是怎麼樣，or , and 和 xor 的情況是不一樣的。
OR卷積
因爲是按位或，所以當前位爲1的對0沒有影響，而0的元素都要對1有影響（0可以 | 1變成1，但是1怎麼 | 都不會變成0），於是它的DWT就是這樣
這樣DWT(A)[i]就相當於下標按位或 i 後等於 i 的元素和，轉換回去剛好就把當前位爲1的減去爲0的就行，即
這就是DWT的逆運算形式吧。
ps：巧合的是，這個玩意其實也是快速莫比烏斯變換FMT，兩個是一樣的，完全沒有區別，也就是說DWT(A)[i]其實也是i的所有子集元素和。
舉個栗子
解決了！
AND卷積
和or很相像
因爲是按位與，所以當前位爲0的對1沒有影響，而1的元素都要對0有影響（1可以&0變成0，但是0怎麼&都不會變成1），於是它的DWT就是這樣
這樣DWT(A)[i]就相當於下標按位與 i 後等於 i 的元素和，轉換回去剛好就把當前位爲0的減去爲1的就行，即
這又剛好是DWT的逆運算了。
再舉個栗子
XOR卷積
這個就比較特殊了
我們從栗子裏會發現，對於異或，我們最後其實要把 a0b0+a1b1 和 a1b0+a0b1 單獨刨出來。（這不是廢話！）
那麼在DWT(C)中，a0b0的係數要和a1b1一樣，a1b0的係數要和a0b1一樣
……
於是它的DWT就是這樣！：
這樣DWT(C)就符合條件了，它的IDWT是
這個得看栗子才明白
模板
下面是非遞歸版本的DWT以及IDWT，m爲數列長度（
inline void DWTOR(int *s,int m) {
for(int k = m;k > 1;k >>= 1) {
for(int i = 0;i < m;i += k) {
for(int j = i+(k>>1);j < i+k;j ++) {
int s0 = s[j-(k>>1)],s1 = s[j];
s[j] = qm((s0 +0ll+ s1) , zxy);
}
}
}
return ;
}
inline void IDWTOR(int *s,int m) {
for(int k = 2;k <= m;k <<= 1) {
for(int i = 0;i < m;i += k) {
for(int j = i+(k>>1);j < i+k;j ++) {
int s0 = s[j-(k>>1)],s1 = s[j];
s[j] = qm((s1 +0ll+ zxy - s0) , zxy);
}
}
}
return ;
}
inline void DWTAND(int *s,int m) {
for(int k = m;k > 1;k >>= 1) {
for(int i = 0;i < m;i += k) {
for(int j = i+(k>>1);j < i+k;j ++) {
LL s0 = s[j-(k>>1)],s1 = s[j];
s[j-(k>>1)] = qm((s0 +0ll+ s1) , zxy);
}
}
}
return ;
}
inline void IDWTAND(int *s,int m) {
for(int k = 2;k <= m;k <<= 1) {
for(int i = 0;i < m;i += k) {
for(int j = i+(k>>1);j < i+k;j ++) {
int s0 = s[j-(k>>1)],s1 = s[j];
s[j-(k>>1)] = qm((s0 +0ll+ zxy - s1) , zxy);
}
}
}
return ;
}
inline void DWTXOR(int *s,int m) {
for(int k = m;k > 1;k >>= 1) {
for(int i = 0;i < m;i += k) {
for(int j = i+(k>>1);j < i+k;j ++) {
int s0 = s[j-(k>>1)],s1 = s[j];
s[j] = qm((s0 +0ll+ zxy - s1) , zxy);
s[j-(k>>1)] = qm((s0 +0ll+ s1) , zxy);
}
}
}
return ;
}
inline void IDWTXOR(int *s,int m) {
for(int k = 2;k <= m;k <<= 1) {
for(int i = 0;i < m;i += k) {
for(int j = i+(k>>1);j < i+k;j ++) {
int s0 = s[j-(k>>1)],s1 = s[j];
s[j-(k>>1)] = qm((s0 +0ll+ s1) , zxy) *1ll* inv2 % zxy;
s[j] = qm((s0 +0ll+ zxy - s1) , zxy) *1ll* inv2 % zxy;
}
}
}
return ;
}
FWT就到這裏了，大家都懂了吧