關於樹形dp的一些解題研究
江蘇省海門中學 邱江傑 施逸凡
樹形dp作爲動態規劃與圖論的交集，在信息學競賽中有着重要的地位，有必要通過幾道例題進一步探討研究。爲增加本文的可讀性，筆者已經將輸入輸出和初始化的代碼隱去。
第一題 題目描述
某大學有N個職員，編號爲1~N。他們之間有從屬關係，也就是說他們的關係就像一棵以校長爲根的樹，父結點就是子結點的直接上司。現在有個週年慶宴會，宴會每邀請來一個職員都會增加一定的快樂指數Ri，但是呢，如果某個職員的上司來參加舞會了，那麼這個職員就無論如何也不肯來參加舞會了。所以，請你編程計算，邀請哪些職員可以使快樂指數最大，求最大的快樂指數。
（輸入輸出格式及數據限制略）
分析：一道常見的樹形dp題，首先找出樹根，即入度爲0的結點，然後從根結點開始遍歷整棵子樹。
我們用f(x,0)表示子樹x，當根節點x的價值r[x]不加入時的最大價值，用f(x,1)表示子樹x，當根節點x的價值r[x]加入時的最大價值。設x的兒子爲yi，遍歷時先遞歸遍歷yi，獲得信息之後考慮轉移。
事實上，若不取根節點價值，那麼yi兩種選擇都可以，顯然取個價值大的
f(x,0)=∑max{f(yi,0),f(yi,1)}
若取根節點價值，那麼兒子的權值只能放棄
f(x,1)=rx+∑f(yi,0)
實際操作見代碼（省略頭文件及部分定義，輸入用read()代替,）
void dp(int x)
{
f[x][1]=r[x];//當前x點爲根，爲可選擇，初值爲它的快樂值。
for(int i=0;i<e[x].size();i++){//窮舉x的所有子結點i。
int y=e[x][i];//取出x的第i個子結點編號
dp(y);
f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);//當前x不取的時候，子結點取與不取決策
f[x][1]+=f[y][0]; //當前x取的時候，爲子結點不取值累加。
}
}
int main()
{
//讀入
for(int i=1;i<=n;i++)//找出根，根的idx值爲0
if(!ind[i])rt=i;
dp(rt);//從根開始做起
printf("%d\n",max(f[rt][0],f[rt][1]));//根取與不取決策
return 0;
}
第二題
題目描述
有一棵蘋果樹，如果樹枝有分叉，一定是分2叉（就是說沒有隻有1個兒子的結點）
這棵樹共有N個結點（葉子點或者樹枝分叉點），編號爲1-N,樹根編號一定是1。
我們用一根樹枝兩端連接的結點的編號來描述一根樹枝的位置。下面是一顆有4個樹枝的
2 5
\ /
3 4
\ /
1
現在這顆樹枝條太多了，需要剪枝。但是一些樹枝上長有蘋果。
給定需要保留的樹枝數量，求出最多能留住多少蘋果。
分析：本題其實是一道題意清晰的樹形DP模板題，不過有一個基於生活常識的細節需要注意：如果一根樹枝被保留，則從根到該樹枝的最短路徑上所有樹枝也必須保留。
本題的做法不一而足，此處給出筆者的做法：
先設狀態函數f[x][k]，其中x爲當前節點的編號，k爲x的子樹中已經保留的樹枝數，那麼f[x][k]即爲該狀態下x的子樹中最多留下的蘋果數。
由此可以比較方便的得出狀態轉移方程，筆者在此給出一種進行分類討論的做法：
(注：q爲最終總共保留的樹枝數)(注意必須保留子節點和父節點的連邊！)
- 保留全部兩根樹枝
f[x][i+j+2]=max(f[x][i+j+2],f[t[x].ls][i]+f[t[x].rs][j]+t[x].ln+t[x].rn);(0≤i≤q,0≤j≤q)(0≤i+j≤q-2)
- 保留一根樹枝
f[x][i+1]=max(f[x][i+1],f[t[x].ls][i]+t[x].ln,f[t[x].rs][i]+t[x].rn);(0≤i≤q-1)
接下來就是放代碼了：
先來看主函數：
int main()
{
//讀入
dfs(1);//從根節點開始進行深度優先搜索
//搜索時先遞歸處理葉子節點，再回溯依次處理各層節點
printf("%d",f[1][q]);//輸出
}
然後是關鍵的遞歸函數：
void dfs(int x)
{
if(!t[x].ls)return;//葉子結點，返回
dfs(t[x].ls);//搜索左子樹
dfs(t[x].rs);//搜索右子樹
//情況1
for(int i=0;i<=q;i++)//循環左子樹保留樹枝數
for(int j=0;j<=q;j++)//循環右子樹保留樹枝數
if(i+j+2<=q)
f[x][i+j+2]=max(f[x][i+j+2],f[t[x].ls][i]+f[t[x].rs][j]+t[x].ln+t[x].rn);
for(int i=0;i<q;i++)
{
//情況2
f[x][i+1]=max(f[x][i+1],f[t[x].ls][i]+t[x].ln);
f[x][i+1]=max(f[x][i+1],f[t[x].rs][i]+t[x].rn);
}
}
通過對這兩道題的分析和解讀，筆者在此總結一下樹形dp的解題規律：
-
從題目中合理抽象出樹的模型
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確定對樹的操作類型，從而確定遍歷方法
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確定轉移方程
-
注意題目中的常識和細節
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拒絕低級錯誤(變量名不要與保留字重合等)
結語
樹的模型，尤其是二叉樹，在競賽中考察的比例正在不斷地升高，牢牢掌握其解題規律，對考生無疑是有非常大的裨益的，更何況有關樹的題目大多都是本質上相似的。本文通過對兩道經典樹形dp題的分析，對樹相關知識點進行了一些總結和提升，希望對廣大考生能有所幫助。
致謝
感謝https://www.luogu.org/提供的題面和測評數據。