关于树形dp的一些解题研究
江苏省海门中学 邱江杰 施逸凡
树形dp作为动态规划与图论的交集，在信息学竞赛中有着重要的地位，有必要通过几道例题进一步探讨研究。为增加本文的可读性，笔者已经将输入输出和初始化的代码隐去。
第一题 题目描述
某大学有N个职员，编号为1~N。他们之间有从属关系，也就是说他们的关系就像一棵以校长为根的树，父结点就是子结点的直接上司。现在有个周年庆宴会，宴会每邀请来一个职员都会增加一定的快乐指数Ri，但是呢，如果某个职员的上司来参加舞会了，那么这个职员就无论如何也不肯来参加舞会了。所以，请你编程计算，邀请哪些职员可以使快乐指数最大，求最大的快乐指数。
（输入输出格式及数据限制略）
分析：一道常见的树形dp题，首先找出树根，即入度为0的结点，然后从根结点开始遍历整棵子树。
我们用f(x,0)表示子树x，当根节点x的价值r[x]不加入时的最大价值，用f(x,1)表示子树x，当根节点x的价值r[x]加入时的最大价值。设x的儿子为yi，遍历时先递归遍历yi，获得信息之后考虑转移。
事实上，若不取根节点价值，那么yi两种选择都可以，显然取个价值大的
f(x,0)=∑max{f(yi,0),f(yi,1)}
若取根节点价值，那么儿子的权值只能放弃
f(x,1)=rx+∑f(yi,0)
实际操作见代码（省略头文件及部分定义，输入用read()代替,）
void dp(int x)
{
f[x][1]=r[x];//当前x点为根，为可选择，初值为它的快乐值。
for(int i=0;i<e[x].size();i++){//穷举x的所有子结点i。
int y=e[x][i];//取出x的第i个子结点编号
dp(y);
f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);//当前x不取的时候，子结点取与不取决策
f[x][1]+=f[y][0]; //当前x取的时候，为子结点不取值累加。
}
}
int main()
{
//读入
for(int i=1;i<=n;i++)//找出根，根的idx值为0
if(!ind[i])rt=i;
dp(rt);//从根开始做起
printf("%d\n",max(f[rt][0],f[rt][1]));//根取与不取决策
return 0;
}
第二题
题目描述
有一棵苹果树，如果树枝有分叉，一定是分2叉（就是说没有只有1个儿子的结点）
这棵树共有N个结点（叶子点或者树枝分叉点），编号为1-N,树根编号一定是1。
我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。下面是一颗有4个树枝的
2 5
\ /
3 4
\ /
1
现在这颗树枝条太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。
给定需要保留的树枝数量，求出最多能留住多少苹果。
分析：本题其实是一道题意清晰的树形DP模板题，不过有一个基于生活常识的细节需要注意：如果一根树枝被保留，则从根到该树枝的最短路径上所有树枝也必须保留。
本题的做法不一而足，此处给出笔者的做法：
先设状态函数f[x][k]，其中x为当前节点的编号，k为x的子树中已经保留的树枝数，那么f[x][k]即为该状态下x的子树中最多留下的苹果数。
由此可以比较方便的得出状态转移方程，笔者在此给出一种进行分类讨论的做法：
(注：q为最终总共保留的树枝数)(注意必须保留子节点和父节点的连边！)
- 保留全部两根树枝
f[x][i+j+2]=max(f[x][i+j+2],f[t[x].ls][i]+f[t[x].rs][j]+t[x].ln+t[x].rn);(0≤i≤q,0≤j≤q)(0≤i+j≤q-2)
- 保留一根树枝
f[x][i+1]=max(f[x][i+1],f[t[x].ls][i]+t[x].ln,f[t[x].rs][i]+t[x].rn);(0≤i≤q-1)
接下来就是放代码了：
先来看主函数：
int main()
{
//读入
dfs(1);//从根节点开始进行深度优先搜索
//搜索时先递归处理叶子节点，再回溯依次处理各层节点
printf("%d",f[1][q]);//输出
}
然后是关键的递归函数：
void dfs(int x)
{
if(!t[x].ls)return;//叶子结点，返回
dfs(t[x].ls);//搜索左子树
dfs(t[x].rs);//搜索右子树
//情况1
for(int i=0;i<=q;i++)//循环左子树保留树枝数
for(int j=0;j<=q;j++)//循环右子树保留树枝数
if(i+j+2<=q)
f[x][i+j+2]=max(f[x][i+j+2],f[t[x].ls][i]+f[t[x].rs][j]+t[x].ln+t[x].rn);
for(int i=0;i<q;i++)
{
//情况2
f[x][i+1]=max(f[x][i+1],f[t[x].ls][i]+t[x].ln);
f[x][i+1]=max(f[x][i+1],f[t[x].rs][i]+t[x].rn);
}
}
通过对这两道题的分析和解读，笔者在此总结一下树形dp的解题规律：
-
从题目中合理抽象出树的模型
-
确定对树的操作类型，从而确定遍历方法
-
确定转移方程
-
注意题目中的常识和细节
-
拒绝低级错误(变量名不要与保留字重合等)
结语
树的模型，尤其是二叉树，在竞赛中考察的比例正在不断地升高，牢牢掌握其解题规律，对考生无疑是有非常大的裨益的，更何况有关树的题目大多都是本质上相似的。本文通过对两道经典树形dp题的分析，对树相关知识点进行了一些总结和提升，希望对广大考生能有所帮助。
致谢
感谢https://www.luogu.org/提供的题面和测评数据。