LearnGL - 06.2 - Matrix - 矩阵03

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本人才疏学浅，如有什么错误，望不吝指出。

上些篇：

• LearnGL - 06 - Matrix - 矩阵01，了解了矩阵就是定义一个座标空间的轴向
• LearnGL - 06.1 - Matrix - 矩阵02，了解了一些矩阵的乘法的维度限制

这一篇：了解 行列式(determinant)、逆矩阵(inverse)、伴随矩阵(adjugate、adjoint)、余子式(cofactor、minor)、代数余子式(algebraic cofactor、minor)。

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逆矩阵-inverse matrix

在计算机3D图形学中，在实现一些特殊功能的时候，特别是一些座标还原，或重构成其他座标时，都可能会用到逆矩阵。

一个变换矩阵可以将我们传入的向量（组）变换到此变换矩阵中的另一个座标系中，如果我们要撤销这些变换呢，那么就需要逆过来变换，这个逆变换的矩阵，就叫：逆矩阵。

我们都知道，标量乘以标量，如：$1 \times n = n$，就是1乘以任意数，等于那个数的本身。

同样在矩阵中也有类型的，如：$I\cdot M=M$，$I$是单位矩阵（左上角到右下角都是1，其余都是0的方阵）乘以任意矩阵都等于那个矩阵的本身。

$1 \times n = n$，同是$\frac{1}{n}\cdot n=1$，而这个$\frac{1}{n}$就是n的倒数。

同样的也有：$M^{-1}\cdot M=M \cdot M^{-1}=I$，而这其中的$M^{-1}$就是$M$的逆矩阵。

在求逆矩阵时，需要用到行列式的功能。

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行列式-determinant

先来讲一下，determinant - 矩阵行列式（这里我觉得中文翻译的理解不好），为啥要一个“式”字结尾，感觉会误导很多人，可以参考这篇文章的讲解：行列式determinant到底是个啥？，其实 determinant 就是求一个矩阵的N个轴（N个列向量，N>0，范围：1,2,…,n）围起来的空间大小（一维）、面积（二维）、体积（三维）、无法描述的变换空间大小（大于三维），最终的值是一个标量，注意：行列式结果是一个标量，并不是什么式子、也不是向量。

所以可以理解，它就是表述一个变换的基的包围空间的大小。

变换：

• 一维中，假设一个2，就是可以把某个东西可以变大2倍的变换数值，它的determinant就是2，长度。
• 二维中，假设$\overrightarrow x(0.5,0) \overrightarrow y(0,2)$，就是可以让一个存在于二维下的数值对象(a,b)可以让它在$\overrightarrow x(0.5,0) \overrightarrow y(0,2)$ 的变换后的结果：$\begin{bmatrix} \overrightarrow x & \overrightarrow y\\ |&| \end{bmatrix} \cdot \left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right) \rightarrow \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \cdot \left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}0.5\cdot a\\2\cdot b\end{matrix}\right)$，相当于把a缩小一倍，b放大一倍。它的determinant就是0.5*2=1面积。
• 同理三维中的是体积。

但上面都是比较理想的变换矩阵，就是他们的每列向量之间都是垂直的（正交的）所以求他们围起来空间，直接向量它们的向量长度就可以了。

但是如果他们不是垂直的（正交的），这个时候就需要将每个轴之间x,y,z分量上有参差的量围成的空间给减去，才能得到最终的空间。

如上图，a(a1,a2),b(b1,b2)向量就是不互相垂直的，黄色就是a(a1,a2)与b(b1,b2)向量x,y分量上参差的分量围起来的面积，着黄色部分的面积就是整个长方形需要减去的面积，最终得到的面积就是a,b向量围起来的平行四边形的面积。

也可以从百度百科中的：矩阵行列式的公式：$det\left(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right) =ad-bc$ 来发现一些线索。

如果b,c为零呢？$det\left(\begin{matrix} a & \color{#ff0000}b \\ \color{#ff0000}c & d \end{matrix}\right) =ad-{\color{#ff0000}bc}\rightarrow det\left(\begin{matrix} a & \color{#ff0000}0 \\ \color{#ff0000}0 & d \end{matrix}\right) =ad-{\color{#ff0000}0}=ad$，那就是向量(a,0)与向量(0,d)垂直了，前者平行于x轴，后者平行于y轴，这时面积就等于ad了，如下图

所以 行列式就是求变换矩阵的轴包围的一个空间大小，只不过在这个二维空间单位是面积，三维就是体积了，一维就是长度。

假设有矩阵A：$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$

det(A)，或是矩阵A的行列式 又或是记作$|A|$，那么：$det(A)=|A|=ad-bc$

那么矩阵A的逆矩阵，记作$A^{-1}$，那么$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}=\frac{1}{ad-bc}\cdot\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$

暂且我们不管这个矩阵$\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$是怎么来的，它看起来就像是a与d交换，b,c添加负数了。这个矩阵叫作：伴随矩阵。后面再详细的搬运一波内容。

这个是2X2矩阵的逆矩阵，我们可以验证一下：

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那么继续逆矩阵的内容

有一个矩阵A：
$A=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8 & -2 \\ 4 & 6\end{bmatrix}$

A的逆矩阵为：
$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\cdot\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$
$A^{-1}=\frac{1}{8\cdot 6-(-2)\cdot 4}\cdot\begin{bmatrix}6 & -(-2) \\ -4 & 8\end{bmatrix}$
$A^{-1}=\frac{1}{48+8}\cdot\begin{bmatrix}6 & 2 \\ -4 & 8\end{bmatrix}$
$A^{-1}=\frac{1}{56}\cdot\begin{bmatrix}6 & 2 \\ -4 & 8\end{bmatrix}$
$A^{-1}=\begin{bmatrix}6\cdot \frac{1}{56} & 2 \cdot \frac{1}{56} \\ -4 \cdot \frac{1}{56} & 8 \cdot \frac{1}{56}\end{bmatrix}$
$A^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{6}{56} & \frac{2}{56} \\ -\frac{4}{56} & \frac{8}{56}\end{bmatrix}$

OK，现在计算得$A^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{6}{56} & \frac{2}{56} \\ -\frac{4}{56} & \frac{8}{56}\end{bmatrix}$，然将与$A=\begin{bmatrix}8 & -2 \\ 4 & 6\end{bmatrix}$相乘，结果看看是否等于$I$：

$A^{-1}\cdot A = I$

$\begin{bmatrix}\frac{6}{56} & \frac{2}{56} \\ -\frac{4}{56} & \frac{8}{56}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}8 & -2 \\ 4 & 6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}\frac{6 \cdot 8}{56} + \frac{2 \cdot 4}{56} & \frac{6 \cdot (-2)}{56} + \frac{2 \cdot 6}{56} \\ -\frac{4\cdot 8}{56} + \frac{8\cdot 4}{56} & -\frac{4\cdot (-2)}{56} + \frac{8 \cdot 6}{56}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}\frac{48}{56} + \frac{8}{56} & \frac{-12}{56} + \frac{12}{56} \\ -\frac{32}{56} + \frac{32}{56} & \frac{8}{56} + \frac{48}{56}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}\frac{56}{56} & 0 \\ 0 & \frac{56}{56}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}1& 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

OK，计算完毕。反过来的：$A\cdot A^{-1} = I$也是一样的。

还有另一个中计算：Matrix Inverse – 逆矩阵，这种方式可视化是以行向量来分析求解的。

而我们上面使用的是列，建议使用列的方式，更加贴合各种软件中计算。

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矩阵的逆矩阵不一定存在，由几种方式可以判断来，先看看二维的逆矩阵的公式：
$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}=\frac{1}{ad-bc}\cdot\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$

此公式中：$det(A)=|A|=ad-bc$

如果$|A|=0$，那么这个式子就$A^{-1}$的公式中会有除以$0$而无意义。

因为$|A|=ad-bc=0$，所以$A^{-1}$矩阵有无意义，会是否存在，取决于$A$矩阵列向量的值。

如果细心观察，可以看出：$A=\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$，矩阵$A$的第一列向量是：$\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}$，第二列向量是：$\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}$，而$|A|=ad-bc$，其实就是：两列向量的叉乘：$\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}=ad-bc$。

两个非零向量叉乘的结果为0的时候就只有这两个向量是：相同方向，或是相反方向的，即：两向量共线。

所以如果一个二维变换矩阵的列向量如果向量是共线的，那么该矩阵就没有逆矩阵。

而按行列式，或是determinant的理解就是：如果一个二维变换矩阵的行列式为0，就是变换矩阵的基围起来的空间大小为0（这里的大小至少是面积、体积，或以上），那么此变换矩阵没有逆矩阵。

所以在判断二维矩阵的逆矩阵是否存在，可以根据以下几种方式：

• 用式子来总结：$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$，当$|A|=0$，则$A^{-1}$无意义，则$A$的逆矩阵$A^{-1}$不存在。
• 而：$|A|=0$，也代表：$ad-bc=0$，也代表：$ad=bc$，也代表：$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$A$不存在逆矩阵。
• 而：$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，也可以看成是：$k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，类似直线斜率的方式，就像 Matrix Inverse – 逆矩阵 中最后是以$\begin{bmatrix}\color{#ff0000}a & \color{#ff0000}b \\ \color{#00ff00}c & \color{#00ff00}d\end{bmatrix}$中的量行的数值分别当作是直线的斜率：${\color{#ff0000}\frac{a}{b}}={\color{#00ff00}\frac{c}{d}}$，则$A$也不存在逆矩阵。
• 而：$ad=bc$，除了可以推导出：$k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，也一样可以按：$\frac{a}{c}=\frac{c}{b}$来判断，这样就是列向量当作直线，并比较它们两的斜率。

上面的直线斜率的方式，可以以这种方式来看待矩阵，就像是直线方程组，把矩阵的元素当作是方程组中的系数：
$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} e\\ f \end{bmatrix}$

它其实就是：
$\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} \cdot x + \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} \cdot y =\begin{bmatrix} e\\ f \end{bmatrix}$

写成：
$ax + by = e\\ ax + dy = f$

变形以下：
$by = -ax + e\\ dy = -ax + f$
再变形：
$y = -\frac{a}{b}x + \frac{e}{b}\\ y = -\frac{a}{d}x + \frac{f}{d}$

OK，在看看，这个与我们的直线方程的：$y = kx + b$，是否很像？

所以我们可以把：$k：-\frac{ a}{b}=-\frac{a}{d}$，看作是斜率，然后等式两边的符号，就成了：$k：\frac{ a}{b}=\frac{a}{d}$

然后是直线的上下位移量：$b：\frac{e}{b}=\frac{f}{d}$，但是直线方程上的$b$不影响行列式，因为$b$只会影响直线之间是重叠共线还是平行。

所以两个直线的斜率 $k$ 相等了，就平行或共线了，那么矩阵的行列式就为0，那么也就不存在逆矩阵了。

还可以理解为直线方程组的各项未知数（元）的系数的话，那么说明两直线无x,y的解，此直线方程无根。因为他们是共线（无穷个交点，无穷个解）或平行（一个交点都没有，一个解都没有）了。两条直线方程有解的话，说明有一个x,y点是两条直线的交点。

这类$n$阶方阵的矩阵如果 不存在 逆矩阵（determinant 或 行列式 为 0），则称为：奇异 矩阵。

矩阵如果 存在 逆矩阵（determinant 或 行列式 不为 0），则称为：非奇异 矩阵。

也可以参考百度百科的：奇异矩阵，奇异矩阵也叫：singular matrix。

最后附上形象一些的图像：

可以看到，当矩阵中的两列向量在共线后，四边形的面积就为0了（紫色的区域大小为0），也就是行列式为0，那么这样的矩阵是没有逆矩阵的。

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伴随矩阵-adjugate、adjoint matrix

伴随矩阵英文叫：adjugate matrix，也叫 adjoint matrix。

也可参考百度百科中说明：伴随矩阵。

早在之前的其他文章中有表述过，数学是需要很高洞察力的学科，需要去观察它的规律。

然后聪明的人类发明了数学公式符号来表示这些规律，如：斐波那契数列、对数，指数，三角函数，等等，等等，这些都有一些简洁的公式，这里就不一一搬砖了，可自行搜索。

而伴随矩阵也是被这些数学家们发现了它的特性，它的作用，也可以用于计算出逆矩阵而用的。
（这里我猜测是数学家们先计算出了逆矩阵的方法，可能计算过程太过于繁琐，然后提炼到最精简的结果时，发现了这一结果是可以从现有矩阵中的数值来求出来的，但它到底是怎么被发现的，这一历史没有记录，我也搜索不到，但这些过程是非常有参考意义的，我也惊讶于竟然没有记录，如果有记录的话，会对后人可能有更多的理解，或是更多特性的发现）

下面我引用百度百科中的一句：

如果二维矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数，对多维矩阵也存在这个规律。

照搬一下之前的求矩阵$A$的逆矩阵的公式：

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}=\frac{1}{ad-bc}\cdot\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$

矩阵 $\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$ 就是伴随矩阵。

留意上面引用百度百科说的，它（伴随矩阵）与逆矩阵就差一个系数，这个系数就是：determinant的倒数，即：矩阵行列式的倒数：$\frac{1}{det(A)}=\frac{1}{|A|}$，二维中（或说是二阶方阵） 的这个系数就是：$\frac{1}{ad-bc}$。

就像上面所说的，至于这个伴随矩阵是怎么得来的，之前我只是简单的描述的一下：

“矩阵$\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$是怎么来的，它看起来就像是a与d交换，b,c添加了负数。”

这是我个人观察的规律，但其实它是由一段公式计算出来的，只不过二维矩阵的伴随矩阵比较简单的规律。

但如果要计算N维（或说N阶）矩阵时，还是需要用公式来计算好些，因为大于二维以上的矩阵的伴随矩阵的计算复杂度会越来越大。

说是有一个公式可以算出来的，但伴随矩阵的式子又是怎么来的，我们也不知道，查找的资料中没有收录这方面的信息，它的公式是：

矩阵$A$的伴随矩阵，记作：$A^*$，它的式子为：

注意：$A^*$的每项元素做了调整从：$A_{\red行\green列}$位置上的值调整为：$A_{\green列\red行}$的值（注意下标左边还是表示 行，右边的还是表示 列，上面说的只是他们的转置情况）。可以理解为 伴随矩阵 是 处理了 转置过 的，就是 行和列对调过 的。
$A^*=\begin{bmatrix} A_{\red 1\green 1} & A_{\red 1\green 2} & \cdots & A_{\red 1\green n} \\ A_{\red 2\green 1} & A_{\red 2\green 2} & \cdots & A_{\red 2\green n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{\red n\green 1} & A_{\red n\green 2} & \cdots & A_{\red n\green n} \end{bmatrix}$

这是错误的，之前没有留意到这个下标不一样，导致我在后续验算是发现结果不对，-_-!!!：

下面的结果是 转置后 的，才是对的：

$A^*=\begin{bmatrix} A_{\green 1\red 1} & A_{\green 2\red 1} & \cdots & A_{\green n\red 1} \\ A_{\green 1\red 2} & A_{\green 2\red 2} & \cdots & A_{\green n\red 2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{\green 1\red n} & A_{\green 2\red n} & \cdots & A_{\green n\red n} \end{bmatrix}$

矩阵中的元素$A_{ij}$是 代数余子式，下面会讲到。

假设有个3x3矩阵$A$：
$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

要求伴随矩阵，我们又要先了解下面要讲到：余子式：$M_{ij}$。后面再加以详细的搬砖。

我们要求得矩阵$A$的伴随矩阵就等于：它的矩阵$A$每一项元素的 代数余子式。这里又有一个术语：代数余子式：$A_{ij}=(-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$（如果要我用一个表情，我会用一个：捂脸哭笑的表情）。

余子式：$M_{ij}$ 与 代数余子式：$A_{ij}=(-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$ 在公式上看的话，后者会多了一个符号的计算：$(-1)^{i+j}$。后面在加以详细的搬砖。现在先跳过，那么继续伴随矩阵的计算：

所以$A^*$ 中每一项 代数与字数 也等于 带符号 的 余子式 ：
$A^*=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} (-1)^{1+1}\cdot M_{11} & (-1)^{2+1}\cdot M_{21} & \cdots & (-1)^{n+1}\cdot M_{n1} \\ (-1)^{1+2}\cdot M_{12} & (-1)^{2+2}\cdot M_{22} & \cdots & (-1)^{n+2}\cdot M_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (-1)^{1+n}\cdot M_{1n} & (-1)^{2+n}\cdot M_{2n} & \cdots & (-1)^{n+n}\cdot M_{nn} \end{bmatrix}$

在我们这个3x3矩阵$A$例子中就是（注意行列 下标 是 转置 过的）：
$A^*=\begin{bmatrix} A_{\green 1\red 1} & A_{\green 2\red 1} & A_{\green 3\red 1} \\ A_{\green 1\red 2} & A_{\green 2\red 2} & A_{\green 3\red 2} \\ A_{\green 1\red 3} & A_{\green 2\red 3} & A_{\green 3\red 3} \end{bmatrix}$

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余子式-Cofactor、Minor

余子式：英文叫：Cofactor，或：Minor，有辅助因子，或是辅助项，次级项，等意思。

余子式它的符号记作：$M_{ij}$，$i$和$j$分别是第$i$行和第$j$列的意思，$M_{ij}$代表的就是减去第$i$行和第$j$列后的n-1方阵的行列式。这里先来个简述，后面会重复强调意思。

而中文的理解中在于：“余”字。然后又是令人费解的“式”字。

• 余字：减去对应的的行与列之后剩余的所有项，重组的新的n-1方阵。
• 式字：教你理解这个“式”子的方法，你可以把它理解成编程语言中的：表达式。而编程中的表达式最终会有一个值的，所以式就是表达式，就是会得到一个值的式子。（前面说的 行列式 中的“式”字也是可以这么理解的）

因为它是从原始n方阵中，减去对应的的第$i$行与第$j$列之后剩余的所有项，重组的新的n-1方阵的 行列式（注意它是一个余项组成而成的n-1方阵的行列式（determinant），所以它将会是一个值）：

还是用回上面的个3x3矩阵$A$：

$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

中，假设我要求第2行第1列的余子式，先分两步：

• 先得出 余项，因为是原来的一部分的项目，所以我们叫：余子项
• 再根据 余子项 来求这个 余子项行列式，所以简称 余子式

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余子项

第2行第1列的余子项：

先将要删除的第2行第1列的所有项的用红色标出来：
$A=\begin{bmatrix} \color{#ff0000}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \color{#ff0000}a_{21} & \color{#ff0000}a_{22} & \color{#ff0000}a_{23} \\ \color{#ff0000}a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

再将这些项删除：
$A=\begin{bmatrix} \color{#ff0000}删除 & a_{12} & a_{13} \\ \color{#ff0000}删除 & \color{#ff0000}删除 & \color{#ff0000}删除 \\ \color{#ff0000}删除 & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

删除，得到 余子项：
$B_{21}=\begin{bmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

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余子式

然后是这个用这个 余子项 来来计算矩阵$B$ 的 行列式（determinant）：

那么 余子式 记作 $M_{ij}$，我们的$i$是2，$j$是1：

$M_{21}=det(B_{21})=\begin{bmatrix} \color{#ff0000}a_{12} & \color{#00aa00}a_{13} \\ \color{#00aa00}a_{32} & \color{#ff0000}a_{33} \end{bmatrix} ={\color{#ff0000}a_{12}\cdot a_{33}} - {\color{#00aa00}a_{13} \cdot a_{32}}$

然后是：其他的$M_{ij}$都可以使用这种方法计算出对应3x3矩阵中的每一项元素的余子式。

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代数余子式-Algebraic cofactor、Minor

我们前面说了伴随矩阵就是每一项的 代数余子式。

而 余子式 与 代数余子式 的区别前面也说过，这里再重新强调一下：

余子式：$M_{ij}$ 与 代数余子式：$A_{ij}=(-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$ 在公式上看的话，后者会多了一个符号的计算：$(-1)^{i+j}$。

那第$i=2$，$j=1$的$A_{ij}=A_{21}$：

$A_{21}=(-1)^{2+1} \cdot M_{21}$

$A_{21}=(-1)^{3} \cdot M_{21}$

$A_{21}=-M_{21}$

那么我们将之前3x3的矩阵$A$的每一项元素的 代数余子式 计算得出：

（上面的矩阵$A$跑太远了，这里再复制过来，方便阅读）
$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

矩阵$A$的伴随矩阵$A^*$为每一项的 代数余字数 （注意行列 下标 是 转置 过的）：
$A^*=\begin{bmatrix} A_{\green 1\red 1} & A_{\green 2\red 1} & A_{\green 3\red 1} \\ A_{\green 1\red 2} & A_{\green 2\red 2} & A_{\green 3\red 2} \\ A_{\green 1\red 3} & A_{\green 2\red 3} & A_{\green 3\red 3} \end{bmatrix}$

因为：$A_{ij}=(-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$，所以式子可以调整为：

$A^*=\begin{bmatrix} (-1)^{1+1}\cdot M_{11} & (-1)^{2+1}\cdot M_{21} & (-1)^{3+1}\cdot M_{31} \\ (-1)^{1+2}\cdot M_{12} & (-1)^{2+2}\cdot M_{22} & (-1)^{3+2}\cdot M_{32} \\ (-1)^{1+3}\cdot M_{13} & (-1)^{2+3}\cdot M_{32} & (-1)^{3+3}\cdot M_{33} \end{bmatrix}$

$A^*=\begin{bmatrix} (-1)^{2}\cdot M_{11} & (-1)^{3}\cdot M_{21} & (-1)^{4}\cdot M_{31} \\ (-1)^{3}\cdot M_{12} & (-1)^{4}\cdot M_{22} & (-1)^{5}\cdot M_{32} \\ (-1)^{4}\cdot M_{13} & (-1)^{5}\cdot M_{23} & (-1)^{6}\cdot M_{33} \end{bmatrix}$

为了对齐，我把正负号的 代数余字数 的 + 也标出来，因为它就是带符号的 余子式：
$A^*=\begin{bmatrix} +M_{11} & -M_{21} & +M_{31} \\ -M_{12} & +M_{22} & -M_{32} \\ +M_{13} & -M_{23} & +M_{33} \end{bmatrix}$

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伴随矩阵-二维的例子

那么来计算最简单的二维矩阵，求：二维矩阵的伴随矩阵。

就用我们前门最简单的2x2矩阵：$A=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}$，它的 伴随矩阵 是：$A^*=\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$

下面来看看它的$A^*$是怎么计算得来的（注意行列 下标 是 转置 过的）：
$A^*=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22}\end{bmatrix}$

那看看$A_{11},A_{12},A_{21},A_{22}$分别都是怎么计算的：

$M_{11} =\begin{bmatrix}\color{#ff0000}a & \color{#ff0000}b \\ \color{#ff0000}c &{\color{00dd00}d} \end{bmatrix} ,\text{删除1行1列：} M_{11} =[{\color{00dd00}d}], A_{11}=(-1)^{1+1} \cdot M_{11}=(-1)^{2} \cdot [{\color{00dd00}d}]={\color{00dd00}d}$，所以$\color{#ff0000}A_{11}=d$

$M_{12} =\begin{bmatrix}\color{#ff0000}a & \color{#ff0000}b \\ {\color{00dd00}c} & \color{#ff0000}d\end{bmatrix} ,\text{删除1行2列：} M_{12} =[{\color{00dd00}c}], A_{12}=(-1)^{1+2} \cdot M_{12}=(-1)^{3} \cdot [{\color{00dd00}c}]=-{\color{00dd00}c}$，所以$\color{#ff0000}A_{12}=-c$

$M_{21} =\begin{bmatrix}\color{#ff0000}a & {\color{00dd00}b} \\ \color{#ff0000}c & \color{#ff0000}d\end{bmatrix} ,\text{删除2行1列：} M_{21} =[{\color{00dd00}b}], A_{21}=(-1)^{2+1} \cdot M_{21}=(-1)^{3} \cdot [{\color{00dd00}b}]=-{\color{00dd00}b}$，所以$\color{#ff0000}A_{21}=-b$

$M_{22} =\begin{bmatrix}{\color{00dd00}a} & \color{#ff0000}b \\ \color{#ff0000}c & \color{#ff0000}d\end{bmatrix} ,\text{删除2行2列：} M_{22} =[{\color{00dd00}a}], A_{22}=(-1)^{2+2} \cdot M_{22}=(-1)^{4} \cdot [{\color{00dd00}a}]={\color{00dd00}a}$，所以$\color{#ff0000}A_{22}=a$

OK，现在$A_{11},A_{12},A_{21},A_{22}$都计算好了。

分别代回伴随矩阵（注意行列 下标 是 转置 过的）：$A^*=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\color{#ff0000}d & \color{#ff0000}-b \\ \color{#ff0000}-c & \color{#ff0000}a\end{bmatrix}$

所以你会看到这个结果就是我之前说的结果。

二维矩阵的伴随矩阵很简单，所以直接总结为之前说的简单处理：“矩阵$\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$是怎么来的，它看起来就像是a与d交换，b,c添加了负数。”

再根据之前描述说的，伴随矩阵 和 逆矩阵 就差一个 系数值，这个系数值就是 矩阵的行列式的倒数

然后我们使用 矩阵的行列式的倒数 的结果，数乘 上 伴随矩阵 得到的就是 逆矩阵

矩阵的行列式 . 伴随矩阵 = 逆矩阵：$A^{-1}=\frac{1}{|A|} \cdot A^*$

如果已知 逆矩阵、矩阵行列式，那么 伴随矩阵 ： $A^* = |A| \cdot A^{-1}$

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总结 & 练习

前面说明，逆矩阵$A^{-1}$作用就是将某个向量$\overrightarrow A$ 应用了矩阵$A$变换成的结果$\overrightarrow B$ 的结果再反向变换回矩阵变换前的$\overrightarrow A$：
$A \cdot \overrightarrow A=\overrightarrow B\\ \\ A^{-1} \cdot \overrightarrow B= \overrightarrow A$

这种应用是非常广泛的，矩阵Unity中大家都应该熟悉的：GameObject 下的 Transform 组件类有 LocationPosition 与 Position：

• LocationPosition 是对象的局部座标
• Position 是世界座标

假设有GameObject A,B,C，他们的父级关系是：A是B的父级，B是C的父级：

A
|
+--->B
	 |
	 +--->C

如果A,B有缩放、旋转、位移过，这时想在脚本里设置C的世界的标对齐到场景中某个对象D的世界位置对齐。

为了方便，直接设置某个C的Position等于D的Position即可，伪代码如下：

GameObject A, B, C, D;

void Start() {
	B.Transform.SetParent(A.Transform);
	C.Transform.SetParent(B.Transform);

	D.Transform.SetParent(.....);
}

void C_Locate_to_D() {
	C.Transform.Position = D.Transform.Position;
}

主要看：C.Transform.Position = D.Transform.Position; 这句即可，它内部处理起始用了逆矩阵来更新LocationPosition，这样外部用起来就相当方便了。

Transform 类的代码中，设置 Position 的伪代码大概如下：

class Transform {
	Matrix4x4 local2worldMatrix; 			// local 局部座标 变换到 world 世界座标的矩阵
	Matrix4x4 world2localnMatrix;			// world 世界座标 变换到 local 矩阵座标的矩阵，它就是location2worldMatrix矩阵的逆矩阵
	
	public Vector3 Position {
		get => position;
		set {
			position = value;
			localPosition= world2localnMatrix.MultiplePoint(position); // 根据 世界座标 反向变换回 局部座标
		}
	}
	
	public Vector3 LocationPosition {
		get => localPosition;
		set { localPosition= value; }
	}

	private Vector3 position;				// 世界座标
	private Vector3 localPosition;			// 矩阵座标
}

这就有点像是上面说过的：

假设有一个 局部座标 到 世界座标 的变换矩阵 $Mat_{lw2}$（lw2==Local To World 的简写）：
$Mat_{l2w}=\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$
然后是 $Mat_{l2w}$ 的逆矩阵 $Mat_{w2l}$（w2l==World To Local），它的作用是 世界座标 到 局部座标 的变换：
$Mat_{w2l}=\frac{1}{ad-bc}\cdot \begin{bmatrix}d & -b\\-c & a\end{bmatrix}$

然后是 局部座标 $Pos_{l}$（l==Local）：
$Pos_{l}=\begin{bmatrix}x_{l}\\y_{l}\end{bmatrix}$

然后是 世界座标 $Pos_{w}$（w==World）：
$Pos_{w}=\begin{bmatrix}x_{w}\\y_{w}\end{bmatrix}$

那么 将 局部座标 变换到 世界座标：

$Mat_{l2w} \cdot Pos_{l} = Pos_{w}$

$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{l}\\y_{l} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x_{w}\\y_{w} \end{bmatrix}$

那么 将 世界座标 变换到 局部座标：

$Mat_{w2l} \cdot Pos_{w} = Pos_{l}$

$\frac{1}{ad-bc}\cdot \begin{bmatrix}d & -b\\-c & a\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{w}\\y_{w} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x_{l}\\y_{l} \end{bmatrix}$

最后的通过设置世界座标的 $Pos_{w}$ 时，我们是已知 $Pos_{w}$ 世界座标点的，和 $Mat_{w2l}$ 都是已知的，求 $Pos_{l}$ 是肯定可以的。

$Mat_{w2l} \cdot Pos_{w} = Pos_{l}$

但最终的终极理解这个变换，你可以这么理解（可参考 可汗学院 里的视频：Matrix world problem: vector combination）：
$Mat_{w2l}$的第一列向量就是$w2l$ 座标系下的 X 轴：$\begin{bmatrix}x_1 \\ y_1\end{bmatrix}$，第二列向量就是 $w2l$ 座标系下的 Y 轴：$\begin{bmatrix}x_2 \\ y_2\end{bmatrix}$，这两个轴分别缩放 $\begin{bmatrix}x_w\\ y_w\end{bmatrix}$ 后，再相加（两个轴，或是两个向量相加），就等于 $\begin{bmatrix}x_l \\ y_l\end{bmatrix}$：
$\begin{bmatrix}x_1 & x_2\\ y_1 & y_2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x_w\\y_w\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_l \\ y_l\end{bmatrix}$

调整为：
$\begin{bmatrix}x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} \cdot x_w + \begin{bmatrix}x_2 \\ y_2 \end{bmatrix} \cdot y_w = \begin{bmatrix}x_l \\ y_l\end{bmatrix}$

调整为文字+公式：
$W2L的轴_x \cdot x_w + W2L的轴_y \cdot y_w = 局部座标\\ (W2L的轴_x向量,放大,世界座标的x_w倍) + (W2L的轴_y向量,放大,世界座标的y_w倍)= 局部座标$
（但注意这里的W2L的X,Y轴，可能都是缩放、旋转过的）

然后我在 可汗学院 的小考的里题目做测试，带上鼠标绘制（我的画板不见了）的过程与提交结果：

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References

• 矩阵行列式(determinant)
• 逆矩阵(inverse)
• 伴随矩阵(adjugate、adjoint)
• 余子式(cofactor、minor)
• 代数余子式(algebraic cofactor、minor)
• 怎样用Matlab求矩阵的伴随矩阵
• 高等代数中的余子式和代数余子式的区别，书上对代数余
• 行列式determinant到底是个啥？
• Matrix world problem: vector combination