【雙指針】B021_LC_滿足條件的子序列數目（二分思想 + 排列組合 + 冪數組）

一、Problem

給你一個整數數組 nums 和一個整數 target 。

請你統計並返回 nums 中能滿足其最小元素與最大元素的 和 小於或等於 target 的 非空 子序列的數目。

由於答案可能很大，請將結果對 10^9 + 7 取餘後返回。

輸入：nums = [3,5,6,7], target = 9
輸出：4
解釋：有 4 個子序列滿足該條件。
[3] -> 最小元素 + 最大元素 <= target (3 + 3 <= 9)
[3,5] -> (3 + 5 <= 9)
[3,5,6] -> (3 + 6 <= 9)
[3,6] -> (3 + 6 <= 9)

提示：

1 <= nums.length <= 10^5
1 <= nums[i] <= 10^6
1 <= target <= 10^6

二、Solution

方法一：雙指針

思路

題目的子序列字樣有點迷惑人，但是仔細想一下會發現其實可以不考慮一組數的順序，所以知道找到了一組合法的數，假設這組數的長度爲 k，那麼一共會有 $2^{k-1}$，比如（a 是有序的數組）：

a = [mi,n1,n2,ma]，tar = x
若 mi+mx <= tar，則一定會有 mi + mi < tar；mi+n1 <= tar；mi+n2 < tar，所以以下的子序列都是合法的：
[mi]，[mi,n1], [mi, n2], [mi, ma], [mi, n1, n2],  [mi, n1, ma], [mi, n2, ma], [mi,n1,n2,ma]
一共  8 個

class Solution {
    public int numSubseq(int[] a, int tar) {
    	Arrays.sort(a);
    	if (a[0]*2 > tar)
    		return 0;
    	int n = a.length, ans = 0, l = 0, r = n-1, mod = (int) 1e9+7;

    	while (l <= r) {
    		if (a[l] + a[r] > tar) {
    			r--;
    		} else {
    			ans = (ans + (int) Math.pow(2, r-l)) % mod;
    			l++;
    		}
    	}
    	return ans;
    }
}

溢出問題：當 r-l 很大時，會造成整形溢出，怎麼解決呢？比賽的時候我是換成了 python，事後發現有兩種方案可以解決問題：

• 用快速冪 + 同餘來避免溢出
• 利用同餘預處理一個長度爲 n 的2的冪次方數數組

class Solution {
    public int numSubseq(int[] a, int tar) {
    	Arrays.sort(a);
    	if (a[0]*2 > tar)
    		return 0;
    	int n = a.length, ans = 0, l = 0, r = n-1, mod = (int) 1e9+7, pow[] = new int[n];
        pow[0] = 1;
    	for (int i = 1; i < n; i++)
    		pow[i] = (pow[i-1] << 1) % mod;
        
    	while (l <= r) {
    		if (a[l] + a[r] > tar) {
    			r--;
    		} else {
    			ans = (ans + pow[r-l]) % mod;
    			l++;
    		}
    	}
    	return ans;
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n)$，
• 空間複雜度：$O(n)$，