AtCoder Beginner Contest 172.F - Unfair Nim

AtCoder Beginner Contest 172.F - Unfair Nim

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思路：异或的性质+构造。

显然题目背景是$Nim$游戏，我们目的是让后手胜，显然$n$堆石子异或为$0$时，后手必胜。接下我们需要构造来使$n$堆石子异或和为$0$。

因为题目要求我们只能将移动第一堆石子给第二堆石子。

我们记第一堆和第二堆石子个数分别为$a,b$。

所以我们可以预处理第$3$堆到第$n$堆石子的异或和，我们记为$c$。

设需要移动的石子数为$x$个。

即我们要使：$(a-x)\oplus(b+x)\oplus c=0\rightarrow (a-x)\oplus (b+x)=c$

首先我们需要知道几个结论：

1：$a_1\oplus a_2\dots \oplus a_n\leq \sum\limits_{i=1}^n a_i$

即$n$个数异或和不能大于其求和。显然取等当这个$n$个数两两的$1$所在位不同。

2.异或和与求和奇偶性相同。

3.要构造长度为2的数组。

最开始满足的条件是$z\oplus z\oplus x=0,z=\dfrac{y-x}{2}，x是异或和，y是求和。$

当且仅当$(z\&x)==0$，长度才能变为2。即$z,x$两个数1的位完全不同，因此才能满足$z\oplus x=z+x$.

以上证明如果不懂可以看看之前的博客写的一个类似的题，相信会有更清楚的理解。
博客链接

因此我们可以先排除一些不可能的答案。

记$s=a+b,d=(s-c),ans=d/2$

$((d\&1)||(d<0)||(ans>a)||(ans\&c))$ 是不可能的情况。

第一个对应性质2，第二个对应性质1，第三个是要当前最小的构造$z$必须不能大于$a$，

第四个是性质3.

因为题目是要求拿走的石子数最少，即$ans$要在$\leq a$的情况下最大。

因为$ans,(ans\oplus c)$前一个数的$1$所在位，后面全部有，且$ans,c$的1位不同。(性质3)

所以我们只需要从$c$里拿$1$过来给前面一个数，让$ans$变大。

所以枚举一下$c$的1的位就解决了此题。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5,M=1e6+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first 
#define se second
int main(){
	int n;
	ll a,b,c=0;
	scanf("%d%lld%lld",&n,&a,&b);
	for(int i=3;i<=n;i++){
		ll x;
		scanf("%lld",&x);
		c^=x;
	} 	
	ll s=a+b,d=(s-c),ans=d/2;
	if((d&1)||d<0||ans>a||(ans&c)) return puts("-1"),0;
	for(ll i=(1LL<<61);i;i>>=1){
		if((i&c)&&ans+i<=a) ans+=i; 
	}
	printf(ans?"%lld\n":"-1\n",a-ans);
	return 0;
}