loj10155：数字转换：树的直径问题

题目连接

• 树形DP专题

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题目大意

• 一个数字n，求n以内的数字之间 “约数和关系” 的最长链；
• 约数和关系：一个数字 $x$ 的约数和为 $s[x]$ ；

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题目分析

• 由 约数和关系 可以想到，如果 $s[x]<x$ ，他们之间可以连一条双向边；题目就转换为了一个树上，求直径。
• 直径的定义： 树上最长的链。
• 求树的直径的方法1：用两次dfs来完成
  $dfs1$ 从根出发，找到最远的叶子结点 $k$；
  $dfs2$ 以 $k$ 为根，出发，找到离他最远的点 $t$ ， $k$ 与 $t$ 之间的距离就是直径。
• 求直径的做法2：dp的思维来实现
  搜索的过程中，同时记录最长链与次长链，回溯的时候更新。

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解题思路1：两次 $dfs$ 求直径

• 如果 $s[x]<x$ ，他们之间可以连一条双向边；
• $dfs1$ 从根出发，找到最远的叶子结点 $k$；
• $dfs2$ 以 $k$ 为根，出发，找到离他最远的点 $t$ ， $k$ 与 $t$ 之间的距离就是直径。

参考代码1

//loj10155-数字转换
//求树的直径-两次dfs求法 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=500007;
struct node{
	int nex,to;
}e[N];
int n,ans,su[N];
int nx,lx;	//第一次的最远点和最远距离 
bool b[N];

int las[N],cnt;
void add(int x,int y){
	cnt++;
	e[cnt].nex=las[x];
	e[cnt].to=y;
	las[x]=cnt;
}
void dfs1(int x,int c){   			//找到最远距离的点 nx 
	if(c>lx){
		lx=c;
		nx=x;
	}
	b[x]=1;
	for(int i=las[x];i;i=e[i].nex){
		int y=e[i].to;
		if(!b[y]) dfs1(y,c+1);
	}
	b[x]=0;
}
void dfs2(int x,int c){				//从nx出发，找反向最远点 
	ans=max(ans,c);
	b[x]=1;
	for(int i=las[x];i;i=e[i].nex){
		int y=e[i].to;
		if(!b[y]) dfs2(y,c+1);
	}
	b[x]=0;
}
int main(){
	cin >> n;
	for(int i=1;i<=n;i++){			//求约数和 
		for(int j=2;j*i<=n;j++){
			su[j*i]+=i;
		}	
	}
	for(int i=2;i<=n;i++){          //构图 
		if(i>su[i]){
			add(i,su[i]);
			add(su[i],i);
		}
	}
	dfs1(1,0);
	dfs2(nx,0);
	cout << ans;
	return 0;
} 

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解题思路2： $dp$ 求直径

• 因为题面要求，对于$x$的约数和 $s[x]<x$ ，所以可以设定 $s[x]$ 为父亲节点， $x$ 为子节点。
• dp的思维来实现
  搜索的过程中，同时记录最长链 $d1[x]$ 与次长链 $d2[x]$，回溯的时候更新。
• 因为这是一棵不确定根的树，所以最后扫描一次所有的点，记录最大的 $d1[x]+d2[x]$ 就是答案。

参考代码2

//loj10155-数字转换
//求树的直径-dp求法 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=500007;

int n,ans,su[N];
int d1[N],d2[N];

int main(){
	cin >> n;
	for(int i=1;i<=n;i++){			//求约数和 
		for(int j=2;j*i<=n;j++){
			su[j*i]+=i;
		}	
	}
	// s[y] --> y  是 父亲到儿子的树边 
	for(int y=n;y>=1;y--){
		if(su[y]>=y) continue; 		//约数和必须小于原数 
		int x=su[y];
		if(d1[x]<d1[y]+1){			
			d2[x]=d1[x];			//更新次长边 
			d1[x]=d1[y]+1;			//更新最大边 
		} 
		else if(d2[x]<d1[y]+1)
			d2[x]=d1[y]+1;			//更新次长链 
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) if(d1[i]+d2[i]>ans) ans=d1[i]+d2[i];
	cout << ans;
	return 0;
}