關於乘法逆元

什麼是逆元？
數論中的倒數—>簡稱逆元
但是！ x的倒數在數論中可不是1/x了
例如
ax=1 當然x是a的倒數
但是如果等號右邊不是1呢
ax=1 mod p x還是1/a嘛
這個時候x就叫做 a關於p的逆元！
總之 假如 x是a的逆元 則a*x=1 mod p;
也就是 模p意義下 1個數a如果有逆元x ，那麼除以a相當於乘以x

逆元的作用

(a + b) % p = (a%p + b%p) %p （對）

(a - b) % p = (a%p - b%p) %p （對）

(a * b) % p = (a%p * b%p) %p （對）

(a / b) % p = (a%p / b%p) %p （錯）

當我們做題的時候會遇到類似的 （a/b)%p 且 b很大容易爆精度

顯然我們 (a / b) % p = (a%p / b%p) %p 是錯的
假設 c 是 b 的逆元，就可以得到 b*c=1 mod p
那 （a/b)1%p = (a/b)bc%p = (ac)%p
我們就直接把除法取模轉化爲乘法取模啦

求逆元的方法
詳細

一 擴展歐幾里得求逆元

void f(int a,int b,int &x,int &y)
{
	int t;
     if(!b)
     {
   	    x=1;
   	    y=0;
	 } 	
	 else
	 {
	 	f(b,a%b,x,y);
	 	t=x;
	 	x=y;
	 	y=t-a/b*y;
	 }
} 

二 快速冪加費馬小定理

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll KSM(ll a,ll b,ll k)
{
	long long ans=1;
	a=a%k;
	while(b>0)
	{
		if(b%2==1)
		   ans=(ans*a)%k;
		b/=2;
		a=(a*a)%k;
	}
	return ans;
} 
int main()
{
    int n,a,p;
	cin>>n;
	while(n--)
	{
		cin>>a>>p; 
		if(a%p==0)
		   cout<<"impossible"<<endl;
		else
		{
			cout<<KSM(a,p-2,p)<<endl;
		}
	}
	return 0;	
} 

例題：杭電1576
題目鏈接

#include<iostream>
using namespace std;
void f(int a,int b,int &x,int &y)
{
	int t;
     if(!b)
     {
   	    x=1;
   	    y=0;
	 } 	
	 else
	 {
	 	f(b,a%b,x,y);
	 	t=x;
	 	x=y;
	 	y=t-a/b*y;
	 }
}
int main()
{
	int t;
	int n,b,x,y;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		cin>>n>>b;
		f(b,9973,x,y);
		x=x*n;
		x=(x%9973+9973)%9973;
		cout<<x<<endl;
	}
	return 0;
}

關於 mod 與 %
%出來的數有正有負，符號取決於左操作數，而mod只能是正

所以要用%來計算mod的話就要用這樣的公式：a mod b = (a % b + b) % b；

括號中的式子可以把左操作數轉變爲正數
代碼裏 最後也是防止 x 爲負