2020省選A卷 組合數問題

求
$\sum_{k=0}^{n} f(k) x^{k} \binom{n}{k}$

$\ n \le 1000$，$\ m \le 1000$

求楊輝三角，枚舉即可。

$\ m=0$

根據二項式定理，即

$a_{0}\sum_{k=0}^{n} x^{k} \binom{n}{k}=a_{0}(x+1)^{n}$

$\ m \le 5$

我們只需要對$\ y,y \in [0,m]$求出
$\sum_{k=0}^{n}k^{y} x^{k} \binom{n}{k}$
我們設：
$g(n,y,t)=\sum_{k=0}^{n} (k+t)^{y} x^{k} \binom{n}{k}$
顯然：

$\begin{array}{rcl} g(n,y,t) & = & \sum_{k=0}^{n} (k+t)^{y} x^{k} \binom{n}{k}\\ & = & \sum_{k=0} k \cdot (k+t)^{y-1} x^{k} \binom{n}{k} + t\sum_{k=0}^{n}(k+t)^{(y-1)}\binom{n}{k} \\ & = & n \sum_{k=1}^{n} (k+t)^{y-1} x^{k} \binom{n-1}{k-1} + t \cdot g(n,y-1,t) \\ & = & n x \sum_{k=0}^{n-1}(k+1+t)^{y-1} \binom{n-1}{k} +t \cdot g(n,y-1,t) \\ & = & n x \cdot g(n-1,y-1,t+1) + t \cdot g(n,y-1,t) \end{array}$
$\ y=0$時：
$g(n,y,t)=(x+1)^{n}$

爆搜即可。複雜度$\ O(2^{m+1})$。

$\ m \le 1000$

容易發現狀態只有$\ \frac{m(m+1)}{2}$個，記憶化即可。