積性函數總結，歐拉函數，莫比烏斯函數

積性函數

符號

$\ (m,n)$最大公約數

$\ [m,n]$最小公倍數

$\ m|a，m整除a$

若無明確說明，$\ p$指素數

什麼是積性函數

我們設數論函數$\ f(x),定義域S,m,n \in S$.
$f(m)f(n)=f(mn)\, , \, (m,n)=1 \Rightarrow f(x)是積性函數 \\ \,\\\,\\ f(m)f(n)=f(mn) \Rightarrow f(x)是完全積性的$
可以證明有很多積性函數。例如：
$f(n)=n^{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,完全積性 \\ f(n)=n^{-k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,完全積性 \\ f(n)=e^{2 \pi i a \frac{n}{m}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,僅當m|a時積性 \\ f(n)=1 完全積性$

定理

設$\ f(n)$。
$n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{r}^{a_{r}}$
$f(1)=1\,\,\,,\,\,\,f(n)=f(p_{1}^{a_{1}})f(p_{2}^{a_{2}}) \cdots f(p_{r}^{a_{r}}) \Leftrightarrow f(n)積性$
$f(1)=1 \,\,\,,\,\,\,f(n)=f^{a_{1}}(p_{1})f^{a_{2}}(p_{2}) \cdots f^{a_{r}}(p_{r}) \Leftrightarrow f(n)完全積性$

證明是顯然的。

必要性

$0 = \neq f(n_{0})=f(1 \cdot n_{0})=f(1) \cdot f(n_{0})$
這就推出$\ f(1)=1$
其他可由積性函數的定義推出。

充分性

$\ (m,n)=1$
$\ n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{s}^{a_{s}}$
$\ m=q_{1}^{b_{1}}q_{2}^{b_{2}} \cdots q_{r}^{a_{r}}$
$\ f(mn)=f(q_{1}^{b_{1}}q_{2}^{b_{2}} \cdots q_{r}^{a_{r}} p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{s}^{a_{s}} )$
$\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=f(q_{1}^{b_{1}})f(q_{2}^{b_{2}}) \cdots f(q_{r}^{a_{r}}) f(p_{1}^{a_{1}})f(p_{2}^{a_{2}}) \cdots f(p_{s}^{a_{s}})$
$\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=f(m)f(n)$

這就證明了積性。
完全積性的證明也是類似的方法。

$\ n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{s}^{a_{r}}$
$\ m=p_{1}^{b_{1}}p_{2}^{b_{2}} \cdots p_{r}^{b_{r}}$
$\ f(mn)=f(p_{1}^{a_{1}+b_{1}}p_{2}^{a_{2}+b_{2}} \cdots p_{s}^{a_{r}+b_{r}} )$
$\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=f^{a_{1}+b_{1}}(p_{1})f^{a_{2}+b_{2}}(p_{2}) \cdots f^{a_{r}+b_{r}}$
$\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=f^{a_{1}}(p_{1})f^{a_{2}}(p_{2}) \cdots f^{a_{r}}(p_{r})f^{b_{1}}(p_{1})f^{b_{2}}(p_{2}) \cdots f^{b_{r}}f(p_{r})$
$\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= f(n)f(m)$

重要積性函數$\ = = = = = \Rightarrow$歐拉函數

$\ \varphi(x)$，即歐拉函數，代表$\ 1-x$中與$\ x$互質的數的個數。
顯然我們得到一個重要性質。
$p \in Q \Leftrightarrow \varphi(p)=p-1\\$

定理

定理1

$m=m_{1}m_{2}\,\,\,,\,\,\,(m_{1},m_{2})>1 \Rightarrow \varphi(m)=m_{2} \varphi(m_{1})=m_{1} \varphi(m_{2}) \\ m=m_{1}m_{2}\,\,\,,\,\,\,(m_{1},m_{2})=1 \Rightarrow \varphi(m)=\varphi(m_{1}) \varphi(m_{2}) \\\,$
對於第一條$\ m_{1},m_{2}$具有的素數種類相同
特別的，我們可以推出：

$m=p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{r}^{a_{r}}\,\,\,a_{j}>=1 \\ \varphi(m)=p_{1}^{a_{1}-1} p_{2}^{a_{2}-1} \cdots p_{r}^{a_{r}-1} \varphi(p_{1} p_{2} \cdots p_{r}) \\ \varphi(m)=p_{1}^{a_{1}-1}(p_{1}-1) p_{2}^{a_{2}-1}(p_{2}-1) \cdots p_{r}^{a_{r}-1}(p_{r}-1)=m \prod_{p|m} (1- \frac{1}{p}) \,\,\,\,\,\,(1)$

證明這個定理需要前置技能既約剩餘系。（或者就記下來。）歐拉函數就是既約剩餘系元素的個數。
形象的理解就是區間可以被分爲很多分，如果區間數與區間長度不互質，那麼每一個區間與$\ m$互質的相等，否則就會有影響。

我們也可以用這個定理推出一點點小結論：

$\ \varphi(1)= \varphi(2)=1$所以

$2| \varphi(m) \Rightarrow m \ge 3$

和

$m=m_{1}m_{2} \cdots m_{s}\,\,\,,\,\,\,(m_{i},m_{j})=1\,\,\,,\,\,\,0 \le i < j \le s \\ \Rightarrow \varphi(m)= \varphi(m_{1}) \varphi(m_{2}) \cdots \varphi(m_{s})\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

定理2

$\sum_{d|m} \varphi(d)=m;$
證明方法很多，現在給出一種證明方法：

$m=1時顯然成立$

$m>1 \\ m=p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{r}^{a_{r}}$

$\sum_{d|m} \varphi(d)=\sum_{e_{1}=0}^{a_{1}} \sum_{e_{2}=0}^{a_{2}} \cdots \sum_{e_{r}}^{a_{r}} \varphi(p_{1}^{e_{1}} p_{2}^{e_{2}} \cdots p_{r}^{e_{r}})$

利用$\ (2)$式得：

$\sum_{d|m} \varphi(d)=(\sum_{e_{1}=0}^{a_{1}} \varphi(p_{1}^{e_{1}}))(\sum_{e_{2}=0}^{a_{2}} \varphi(p_{2}^{e _{2}})) \cdots (\sum_{e_{r}=0}^{a_{r}} \varphi(p_{r}^{e_{r}}))$

又根據定理1

$\sum_{e_{i}=0}^{a_{i}} \varphi(p_{i}^{e_{i}})=1+(p-1)+(p^{2}-p)+ \cdots +(p_{i}^{a_{i}}-p_{i}^{a_{i}-1})=p_{i}^{a_{i}}$

$\sum_{d|m} \varphi(d)=(\sum_{e_{1}=0}^{a_{1}} \varphi(p_{1}^{e_{1}}))(\sum_{e_{2}=0}^{a_{2}} \varphi(p_{2}^{e _{2}})) \cdots (\sum_{e_{r}=0}^{a_{r}} \varphi(p_{r}^{e_{r}}))=p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{r}^{a_{r}}=m$

證畢

定理3

$(a,m)=1 \Rightarrow a^{\varphi(m)} \equiv 1\pmod{m}$

特別的

$a^{p} \equiv a (mod \,\,m)\,\,\,,\,\,\,p \in Q$

我們設一組既約剩餘系$\ r_{1},r_{2}, \cdots r_{\varphi(m)}$，當$\ (a,m)=1$，$\ ar_{1},ar_{2}, \cdots ar_{ \varphi(m)}$也是一組既約剩餘系。可以得到：

$\prod_{j=1}^{\varphi(m)}r_{j} \equiv \prod_{j=1}^{\varphi(m)}(ar_{j}) \equiv a^{\varphi(m)}\prod_{j=1}^{\varphi(m)} r_{j}\pmod{m}$

去掉$\ \prod_{j=1}^{\varphi(m)} r_{j}$得

$1 \equiv a^{\varphi(m)}\pmod{m}$

證畢

我們在求逆元時就可以用這個公式：

$a^{-1} \equiv a^{\varphi(m)-1}\pmod{m}$

對此我們可以引入一個新的函數：$\ \delta_{m}(a)$，讀音delta。函數定義爲最小的$\ d$滿足$\ a^{d} \equiv 1 (mod \,\,m)$，這個函數不在此討論。

歐拉函數及其重要定理暫時就這麼多。

以上我們可以得出兩種求歐拉函數的方法。
1.歐拉函數線性篩
即計算每一個素數對後面的影響。是線性篩出歐拉函數值的算法。

int n;
int phi[100100],prime[100100],tot=0,ans=0;  
bool mark[100100];  
void getphi(int n)  
{  
   	phi[1]=1;
   	int i=2,j=1;
   	while(i<=n)
   	{
    	if(!mark[i])  
		{
			prime[++tot]=i;
			phi[i]=i-1;
        }
        j=1;
        while(j<=tot)  
       	{
    		if(i*prime[j]>n) break;  
          	mark[i*prime[j]]=1;
          	if(i%prime[j]==0)
          	{  
            	phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;  
          	}  
          	else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
          	++j;
       	}
       	++i;
   }  
}

2.通項公式
求出一個數的素因子及其指數。

int gphi(int n)
{
    int res=n,i=2;
    while(i*i<=n)
	{
        if(n%i==0){
            res=res-res/i;
            do{
                n/=i;
            }while(n%i==0);
        }
        ++i;
    }
    if(n>1) res=res-res/n;
    return res;
}

重要積性函數$\ = = = = = \Rightarrow$莫比烏斯函數

$\ \mu(x)$即莫比烏斯函數。

$\mu (x)= \begin{cases} 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=1 \\ (-1)^{r},\,\,\,\,\,\,x=p_{1} p_{2} \cdots p_{r} \\ 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,others \end{cases}$

可以證明：
$\ (d_{1},d_{2})=1$時，$\ \mu(d_{1}d_{2})=\mu(d_{1}) \mu(d_{2})$

定理

定理1

$\sum_{d|m} \mu(d)=\lbrack \frac{1}{n} \rbrack= \begin{cases} 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n=1 \\ 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n=0 \end{cases}$

證明：
$\ n=1$時顯然成立。

$\ n=p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{s}^{a_{s}}$
根據定義，我們從中取一定數量的素數，答案是完全確定的。

$\sum_{d|m} \mu(d)= \binom{s}{0} - \binom{s}{1}+ \binom{s}{2} - \cdots +(-1)^{s} \binom{s}{s}= \sum_{i=0}^{s}(-1)^{i} \binom{s}{i}$

根據二項式定理：

$(a+b)^{s}=\binom{s}{0} a^{s}+\binom{s}{1} a^{s-1}b^{1} \cdots +\binom{s}{s} b^{s}$

我們得到：

$\sum_{d|m} \mu(d)= (1-1)^{s}=0$
證畢

定理2

$\ A$是一個有限的整數序列，$\ K$是給定整數，$\ A_{d}$表示$\ A$中被$\ d$整除的數組成的子序列。
$\ K=p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{s}^{a_{s}}$
$\ |A_{d}|$表示這個子序列的長度。
在序列中與$\ K$既約的個數。

$S(A;K) = \sum_{a \in A,(a,K)=1}1 =|A|-\sum_{r=1}^{s} (-1)^{r} \underbrace{ \sum_{i_{1}=1}^{s} \sum_{i_{2}=1}^{s} \cdots \sum_{i_{r}=1}^{s}}_{i_{1}<i_{2}< \cdots <i_{r}}|A_{p_{i_{1}} p_{i_{2}} \cdots p_{i_{r}}}|$

證明：

由定理1得知：

$\sum_{a \in A,(a,K)=1}1=\sum_{a \in A} \sum_{d|(a,K)} \mu(d)=\sum_{d|K} \mu(d) \sum_{a \in A,d|a}1=\sum_{d|K} \mu(d)|A_{d}|$
證畢

我們也可以得出兩種求莫比烏斯函數的方法。

莫比烏斯函數線性篩
和歐拉篩一樣，計算素數對後面的影響。

bool notp[100100];
int pnum,p[100100],n,u[100100];
void getmu(int n)
{
    memset(notp,0,sizeof notp);
	pnum=0;
    u[1]=1;
    int i=2,j=0;
    while(i<=n)
	{
        if(!notp[i])
		{
            p[pnum++]=i;
            u[i]=-1;
        }
        j=0;
        while((j<pnum)&&(i*p[j]<=n))
		{
            int k=i*p[j];
			notp[k]=1;
            if(i%p[j]==0)
			{
                u[k]=0;
                break;
            }
            u[k]=-u[i];
            ++j;
        }
        ++i;
    }
}

2.通項公式

int getmob(int a)
{
    int x=a,tmp=a;
    int cnt=0,now=0,j=2;
    while(j*j<=x)
	{
        now=0;
        if(x%j==0)
		{
            while(x%j==0)
			{
				++now;
				x/=j;
			}
            if(now>1) return 0;
            ++cnt;
        }
        ++j;
    }
    if(x!=1) ++cnt;
    return (cnt&1 ) ? -1 : 1;
}

莫比烏斯函數以後還有大用，在莫比烏斯變換中用處很大。

最後的最後

祝大家++RP