線性代數——矩陣正定性及二次型的矩陣表示

一. 判斷矩陣正定性的方法（4種）

1.矩陣所有特徵值爲正 即λi>0

2.矩陣的所有主元爲正數

3.矩陣的順序主子式均爲正數

4.矩陣表示的二次型爲正

二.二次型矩陣形式及代數形式的轉化

二次型與實對稱矩陣的關係如下：

我們先來談論最簡單的情況，這裏僅考慮二個變量，也是最常見的情況

設有2*2矩陣（注意，本文矩陣的正定性在矩陣爲實對稱矩陣情況下談論）

$\begin{bmatrix} a&b \\ b&c \end{bmatrix} \tag{1}$
向量 X=
$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \tag{2}$

考慮X’AX的計算結果，即

a²+2bxy+cy²

由此公式可以實現代數形式的矩陣二次型向矩陣形式轉化

三.以上爲二維的情況，考慮n維的情況

1.定義：含有n個變量的二次齊次多項式稱爲二次型：

一定要注意這裏是齊次多項式

2.二次型的求和號表示

3.示例

從所得到的A矩陣中，我們可以看出，矩陣對角線上的元素決定了平方項的係數，

而交叉項的係數被平均分配到了相應矩陣的位置中，

根據這條規律，我們就可以根據所給的二次型的代數形式直接寫出相應的矩陣形式。