警告 以下內容已超越矩陣變換存在，不能保證其正確性，僅代表一種看法。
我們需要知道，能夠形成一整套完整理論的，都是很成熟的，往往研究了幾十幾百年的，但是有些很新很前沿偶爾很強大的，有時理論殘缺不全，甚至沒有道理可講，很不幸這裏討論的目標就屬於後者，但又必須去理解它，不然怎麼叫強迫症呢
0 目的
上文理解矩陣變換中講到矩陣變換的缺陷，其中之一是不同的變換不能在同一空間共存，即Ax是對x做A變換，不區分x的空間位置。而我們希望有一種映射能根據x所在空間位置不同而做不同的變換。
1.評估空間內變換出現變化的方法
(注：因爲對象比較抽象不太好理解，所以這裏提出這個方法，協助理解)
那怎麼去評測空間內的這一種映射呢，在這裏提出一個用折線及其折射去衡量空間映射變化的方法
如果一條直線進入某空間時，發生了折射(向某方向偏折)，表明空間中的法則(映射)發生了變化，其變化過程可以是突變，也可以是漸變，在一個方向發生，認爲一次，在n個方向逐次發生認爲n次，我們就認爲對該直線施加了n+1次法則(變換)；這n個方向作爲座標系，其爲空間s，令m=dim(s);
放出任意的直線，出現了最大的那個n，稱爲max_n，則認爲該空間具有對max_n+1個子空間實施max_n+1次法則的能力；簡單說就是提出如下評判原則：
直線映射後被折了n次就表明能對n+1種不同位置的x實施n+1次不同的變換。
n>=m，令k=n/m，k是有用的，這裏不討論；上面這句話可變爲
直線映射後被折了n次就表明能對n+1種不同位置的x實施至少m種不同的變換。
2.映射及其定義
我們的目的，是如下圖所示的映射，就是在矩陣乘矩陣之間插入一個函數，變成矩陣、函數、矩陣這麼一種夾心結構，而上一章我們討論的映射是圖中虛線框內的部分
夾心結構中，如果沒有函數，就是矩陣乘矩陣，那還是矩陣，但是，夾入函數，產生了特別的作用
2.1 以1個斷點的線性函數爲例(非強迫症可跳過)
函數Y=(|y1|,....|yn|)T在座標i上的分量提取出來，函數如圖：
在yi=0的界面上發生了折射，上例中函數的入射斜率是1、折射斜率是-1；更一般的設入射斜率是1，折射斜率是µ。這裏不設k1、k2，µ=k1/k2，因爲入射時已包含k1，或者說折射後還是k1，那不會偏折，正是因爲k1到k2的變化才導致偏折，所以我們用µ；
y=(y1,....yn)T，y經過函數Y作用後爲Y=(Y1,....Yn)T，對於Yi有
Yi=yi， yi>0
Yi=µyi，yi<0
如果y=Ax+b，則上面可看作當yi<0時，用µA的第i列替換了A的第i列，用µb的第i行替換了b的第i行，現在先不用考慮偏置b，將其寫爲
y=A(x+b’)
我們可以看到：界面將空間劃分爲2^n個象限，第一象限內的映射爲矩陣A的線性變換，其餘象限的線性變換因象限位置而異，對應於µA對A的列的部分替換；
我們知道必定有一個象限對應於µA對A的全部替換，且也知道只要µ<=0，就能將其他象限映射到第一象限範圍之內。
以上這一大堆意味着什麼？(這裏用到前述的評估方法應能較好理解)就是說有兩個矩陣變換，一個是µA，另一個是A，我們可以讓一個子空間比如第一像限，同時出現這兩種矩陣變換，這樣會產生現象：比如直線每進入一個象限就會發生一次折射，最多能發生2^n-1次折射。
2.2 以1個同樣的例子來理解
上一章矩陣變換的侷限：根據矩陣變換的特點，可知異或運算這樣的映射，矩陣變換做不到，本質是變換時，變換矩陣是唯一的，不同的變換不能共存。這樣比較好理解：Ax是對x做A變換，不能根據x的位置不同而做不同，的變換；又由於A代表任何矩陣，所以沒有矩陣能實現根據x空間位置不同，而做不同的變換。下面用兩種函數來實現異或映射，並分析其特點
2.2.1函數Y=(|y1|,|y2|)T
首先做矩陣變換，根據矩陣變換平行關係不變，可以推論得到平行四邊形不變，右圖可看作平行四邊型一個對角線被縮放爲0。
然後使用函數在y2軸上發生折射
這裏選用的函數是Y=(|y1|,|y2|)T，這樣完成了異或變換。
2.2.2 用如下函數來實現異或
分析：函數折射是投影(壓縮座標)，如下變換實現異或
可以看出，在y1軸上發生了折射，導致三點不在一條直線上，用一個矩陣的壓縮變換就得到結果。
2.2.3 特點對比
第二種映射的優點：第二種進行了2次矩陣變換，是我們前面定義的夾心結構，設第一次爲A，第二次爲B；函數對矩陣A變換後穿過界面那部分進行了擦除，然後進行B變換，這樣做的優點是能將直線映射爲任何折線(最多折2^n-1次)；根據評判原則，我們最多能對特定的2^n種x做2^n種變換。
第一種映射的缺點和優點：第一種映射缺點是折射後沒有進行矩陣變換，不能將直線映射爲任意折線，只能映射爲特定折線，能行是巧合。
其優點就在於只進行了一次矩陣變換，爲什麼這麼說？
- 爲什麼這些變換矩陣不寫出來，放個圖片就完了？因爲限於作者水平，即使再簡單也碼不出來；而稍微複雜的，計算機能夠自動生成。
- 有電腦了，終於不用自己動手了，但是伴隨着新的問題，只是讓電腦去找一個A還好，要是讓它去找AB，那完蛋了，因爲：AB=AIB=(AC)(DB)，不給它一個限制，只要滿足CD=I的C、D矩陣計算機都能找出來，或者說，它會浪費時間搞出各種A，B矩陣(對於它來說AC就是A，DB也是B)，所以正則化是自從計算機和矩陣乘法有關聯後，就必討論的題目之一。
2.3 偏移b
偏移b很重要，從前面的圖可看出，對於有一個斷點的線性函數，發生折射的區域是第一象限外，所以需要依靠偏移b把需要分離的點或點集移出第一象限。
3分形與級聯(串聯)
上面我們看到一個夾心結構能夠直線映射爲任何折線(最多折2^n-1次)，可以解決許多矩陣變換不能解決的問題。但是僅限於此也談不上多特別，畢竟用核函數也未必不能得到。
3.1 級聯(串聯)
所以如下圖所示，我們將上述映射作爲一層，2層級聯(串聯)
連接處做簡化，下圖所示，虛線框內是令A2等於上圖的B1A2。
根據評判原則，一層的作用最多能將一條直線折2^n-1次，做l層串聯最多可以將一條直線折(2^l^n)-1次，但是這個與單層的折(2^l^n)-1次不同，這是一種類似分形。
3.2 分形與級聯
可以想象，我們把一張紙(平行直線排列成一個陣列)2^n-1折(折不準確，應該是m個方向扭曲，每個方向k折，但是有助於理解)有2^n個子空間後，在上面刻花，每條打折的直線會記錄下花的部分信息，把這些直線拉直排列起來，會發現有2^n朵花的圖案，這是一種分形，來一個分形的圖案(來自百度百科：分形)
如果是多層級聯，那麼相似的圖案就像細胞分裂或類似核反應，往下層複製。
從映射上看，對於兩層，上層劃分成各種子空間，各子空間內對應B1、B2、B3...變換，由於下層會分形般複製上層，也必然會複製上層的子空間劃分，那麼在下層中，各個子空間的空間內按上層的方式進行劃分，分成子子空間，第i個子空間的第j個子空間內實施AiBj映射。
擴展想象：多層級聯就是一層又一層，層層疊疊，形成一層一層的空間嵌套，比如類似盜夢空間，類似分形。
3.3 級聯的意義
其意在於什麼呢，應該在於高效利用資源，比如：單層如果要實施2^nl種變換需要2個n×l維方陣(注意：n×l維意味着m×m矩陣，m=n×l)，但是對於級聯只需要l+1個n維方陣。
4 特點分析
4.1.1矩陣規模
這裏還有一個問題，我們知道Ax表示對x做A變換，如果我們要找的映射關係是Bx與Cx的疊加那一個矩陣夠用嗎，由於B+C還是個矩陣，所以我們就用1個沒問題，但如果是這種映射呢，即對特定的x實施多種變換的疊加，由於多種變換的疊加後還是一個變換(這個解釋是從有限斷點的線性函數得出的。又因①非線性函數可以用有限斷點的線函數來逼近，②爲保證扛擾動，矩陣變換後需要分離的數據點不會太近。所以非線性函數的作用可以用有限斷點的線函數替代)
那能行，所以相同的矩陣規模能對各種問題做出很好的映射，或者說，只要能對一種或多種問題做出很好的映射，那總是能對各種問題做出很好的映射。
4.1.2減小矩陣規模
n維矩陣最多實現2^n種變換共存，多層級聯的話更多，但實際上我們遇到的問題用不了這麼多，又由於解法並不唯一，比如我們做異或運算只用了y1軸作爲界面，很明顯y2軸也可以，解法不唯一。1個矩陣變換就可以解決許多映射，所以很多問題即使縮減規模也能得到很好映射，表現在把某層或多層的矩陣的部分元素拿走，比如基數或偶數元素拿走。
4.2與核函數的區別
單獨比較，本文的映射：兩矩陣夾一個函數比核函數靈活，總的來看，與核函數不衝突，可協作，比如對核函數作用後的數據進行映射作爲一層，多層級聯，等等等各種奇葩組合....
5小結
本文一開始，我們希望有一種變換能根據x所在空間位置的不同而做不同的變換，如今得到了這麼一種映射，這是一扇新的大門；
雖然矩陣乘矩陣還是矩陣，但是，我們在這裏看到，中間夾了一個函數後，就發生了特別的變化；但其本質是對矩陣變換飛躍性的改進，這就是作者持有的一個核心觀點之一。
6用途與缺陷
6.1 用途
全文都在講這種特殊的映射，那麼它(這種映射)有什麼用，比如，矩陣變換可以做圖像處理這種映射，但是做不了邏輯映射或模式識別，意味着相對矩陣，它擅長邏輯映射與模式識別。
實際情況也差不多，大家用它來做圖像識別(會比較慢)，一般都配合核函數，會比較快(分工合作，它專門負責識別模式)，也用它來做語言識別，互動，翻譯什麼的；開車好像也可以，比如紅燈停綠燈行這些簡單的邏輯，或者很複雜的交通邏輯，等等等，反正用途大的要死。但是問題在於什麼呢，這些場合，比如語言識別，互動，翻譯、開車等等需要的是死記硬背模式，還是理解執行?
6.2 缺陷
1）與矩陣變換類似，這種變換同樣存在類似的問題：不同映射不能共存，這個很好理解，每一層的矩陣確定了，映射就確定了。 這意味着一旦映射改變(我們的問題改變)，矩陣就會變，就需要計算機重新尋找矩陣，所以雖然是多細胞了，但還是有缺陷。
2）這種變換做的是映射，這是它的特點，也是它的缺陷，與矩陣變換類似，世界很複雜，特點變缺點；難道世界有這麼複雜，是的，如果我們對它期望很高。
如果我們想得到更高級的映射，那至少需要它具備觀察、感知、認知、學習、推理、執行這麼幾點；但它總是被詬病爲鸚鵡，因爲鸚鵡不理解卻也能靠死記硬背講出流利的語言，只不過它是更強大的鸚鵡。
有對立面，才能進化，作者認爲雖然有缺陷，但它有繼續進化的潛能
6.3 繼續進化
首先第2點詬病的理由是不對的，理解屬於高度抽象的層面，而其載體不具備理解能力，那很正常，比如，細胞只能進行生化反應，巨量細胞構成的腦只能進行大量的生化反應，但是它們這些反應的集合體-意識，纔有理解的能力；所以說計算機不理解，不能說明什麼，也說明不了什麼。
其次真正讓它成爲鸚鵡的原因是大數據小任務的特點，或者說，如果它理解了，根本不需要這麼多的數據，比如有一句話叫舉一反三，只要學習1條數據就能解決3個問題；鏈接http://www.sohu.com/a/227854954_297710對這些問題講的很好。
“理解”這個詞太抽象層次太高了，先撇開不說，對於第一個缺陷，那麼有沒有一種算法能夠不用改變矩陣就能做出多種映射呢？答案是肯定的，下一章站在對立面的對立面來討論這個問題。(有其他事，暫時終)