限幅濾波和一階滯後濾波（基於ESR估計）

reference:
10種簡單常用濾波方法
Github-Stefanbit1996

1. 問題背景 Backgrounds

此問題基於一種簡單的動力電池SOH估計方法，即通過估計ESR(Equivalent-Series Resistance)來實現。估計ESR $R_0$ 是一個相對比較簡單的問題，以爲它對於端電壓測量是比較敏感的，這可以通過下面的過程來證明。

2.敏感性驗證 Sensitivity validation

根據Dr.Plett的課程中的等效電路模型
$v_k=OCV(z_k)+V_{hysteresis,k}-\sum_iR_ii_{R_i,k}-i_kR_0$
式中第一項爲OCV，第二項爲電壓遲滯，第三項爲極化電壓，第四項爲歐姆內阻上的電壓。
設電壓測量對內阻變化的敏感度可定義爲
$S_{v_k}^{R_0} = \frac{R_0}{v_k} \frac{dv_k}{dR_0}=\frac{-R_0}{v_k}i_k$
由於$i_k$可以有較大的值，因此sensitivity是高的（SOH的另一個indicator可用容量的sensitivity就很低）

2. 估計方法 Estimation Method

比較兩個相鄰採樣的電壓：
$v_k = OCV(z_k)+V_{hysteresis,k}-\sum_iR_ii_{R_i,k}-i_kR_0$
$v_{k-1} = OCV(z_{k-1})+V_{hysteresis,k-1}-\sum_iR_ii_{R_i,k-1}-i_{k-1}R_0$
相比於$i_k$變化的速度，$SOC,V_{hysteresis,k},\sum_iR_ii_{R_i,k}$三項可近似認爲不變
$v_k-v_{k-1}\approx{R_0(i_{k-1}-i_k)}$
得到估計方法：$\hat{R}_0,k=\frac{v_k-v_{k-1}}{i_{k-1}-i_k}$

3. 濾波及結果比較 Filtering and Comparision

用這種方法直接估計的話，可能會因爲採樣間隔中的電流變化太小或者由於ESC模型本身的不準確導致結果含很多噪聲。本文嘗試限幅濾波與一階滯後濾波兩種簡單的濾波方式，此處的限幅濾波就是指只有當${i_{k-1}-i_k}$足夠大時才進行$R_0$的估計，否則電流變化太小會導致估計結果太noisy。一階滯後濾波也很好理解，取a=0~1，本次濾波結果=$(1-\alpha)$本次採樣 + $\alpha$上次結果。
下面對不同電流門檻下的限幅濾波以及一階滯後濾波(先限幅濾波後一階滯後濾波)的效果進行一個比較。
可見限幅濾波效果明顯，threshold太小導致結果噪聲太大，threshold太大導致信息丟失，因此應選取一個最佳的threshold，然後對處理過的結果繼續進行一階滯後濾波，並調節$\alpha$以獲得最佳結果。