限幅滤波和一阶滞后滤波（基于ESR估计）

reference:
10种简单常用滤波方法
Github-Stefanbit1996

1. 问题背景 Backgrounds

此问题基于一种简单的动力电池SOH估计方法，即通过估计ESR(Equivalent-Series Resistance)来实现。估计ESR $R_0$ 是一个相对比较简单的问题，以为它对于端电压测量是比较敏感的，这可以通过下面的过程来证明。

2.敏感性验证 Sensitivity validation

根据Dr.Plett的课程中的等效电路模型
$v_k=OCV(z_k)+V_{hysteresis,k}-\sum_iR_ii_{R_i,k}-i_kR_0$
式中第一项为OCV，第二项为电压迟滞，第三项为极化电压，第四项为欧姆内阻上的电压。
设电压测量对内阻变化的敏感度可定义为
$S_{v_k}^{R_0} = \frac{R_0}{v_k} \frac{dv_k}{dR_0}=\frac{-R_0}{v_k}i_k$
由于$i_k$可以有较大的值，因此sensitivity是高的（SOH的另一个indicator可用容量的sensitivity就很低）

2. 估计方法 Estimation Method

比较两个相邻采样的电压：
$v_k = OCV(z_k)+V_{hysteresis,k}-\sum_iR_ii_{R_i,k}-i_kR_0$
$v_{k-1} = OCV(z_{k-1})+V_{hysteresis,k-1}-\sum_iR_ii_{R_i,k-1}-i_{k-1}R_0$
相比于$i_k$变化的速度，$SOC,V_{hysteresis,k},\sum_iR_ii_{R_i,k}$三项可近似认为不变
$v_k-v_{k-1}\approx{R_0(i_{k-1}-i_k)}$
得到估计方法：$\hat{R}_0,k=\frac{v_k-v_{k-1}}{i_{k-1}-i_k}$

3. 滤波及结果比较 Filtering and Comparision

用这种方法直接估计的话，可能会因为采样间隔中的电流变化太小或者由于ESC模型本身的不准确导致结果含很多噪声。本文尝试限幅滤波与一阶滞后滤波两种简单的滤波方式，此处的限幅滤波就是指只有当${i_{k-1}-i_k}$足够大时才进行$R_0$的估计，否则电流变化太小会导致估计结果太noisy。一阶滞后滤波也很好理解，取a=0~1，本次滤波结果=$(1-\alpha)$本次采样 + $\alpha$上次结果。
下面对不同电流门槛下的限幅滤波以及一阶滞后滤波(先限幅滤波后一阶滞后滤波)的效果进行一个比较。
可见限幅滤波效果明显，threshold太小导致结果噪声太大，threshold太大导致信息丢失，因此应选取一个最佳的threshold，然后对处理过的结果继续进行一阶滞后滤波，并调节$\alpha$以获得最佳结果。