BZOJ.PA2009 Cakes(三元環)

BZOJ.PA2009 Cakes(三元環)

思路：三元環的裸題。第一次寫還是稍微整理一下求三元環的思路。

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1.無向圖(無重邊，無自環）轉化爲有向無環圖。

轉化的方法：對於任意邊$edge(u,v),$度數大的結點指向度數小的結點，若度數相同，則編號小的結點指向編號大的結點。

用表達式即：$if(deg[u]<deg[v]||deg[u]==deg[v]\&\&u>v)\quad swap(u,v)$

$e[u].push\_back(v).$變爲有向邊。

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2.接下來就是遍歷每個結點看能否形成三元環。

對於結點$i$的所有相鄰結點$u$打上標記，再對每個$u$遍歷它的相鄰結點$v$，若$v$有$i$給的標記，說明是一個三元環。

說明：這裏每個三元環只會被記錄一次。

時間複雜度：$O(m\sqrt{m})$

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簡單證明下時間複雜度：

顯然我們考慮一條邊$u\rightarrow v$對時間的貢獻是$out_v$,

則總時間複雜度爲：$\sum\limits_{i=1}^m=out_{v_i}$

$out_v$是結點$v$的出度。

顯然分兩種情況。

當$deg(v)\leq\sqrt{m}$時，因爲$out_v\leq deg(v)$，所以時間複雜度是$out_v=\sqrt{m}$。

當$dge(v)>\sqrt{(m)}$時，因爲圖的總度數是$O(m)$的，所以度數$>\sqrt{m}$的結點至多有$O(\sqrt{m})$個，而$v$只能連向度數不小於它的結點，所以時間複雜度：$out_v=\sqrt{m}$.

綜上：總時間複雜度：$\sum\limits_{i=1}^m=out_{v_i}=m\sqrt{m}$.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5,M=1e6+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first 
#define se second
int n,m,deg[N],vis[N],val[N];
vector<int>e[N];
struct node{
	int u,v;
}a[N];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&val[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		deg[u]++,deg[v]++;
		a[i]={u,v};
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u=a[i].u,v=a[i].v; 
		if(deg[u]>deg[v]||deg[u]==deg[v]&&u>v) swap(u,v);	//無向圖轉有向無環圖. 
		e[u].push_back(v);
	}
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(auto v:e[i]) vis[v]=i;
		for(auto u:e[i])
			for(auto v:e[u])
				if(vis[v]==i) ans+=max({val[u],val[v],val[i]}); 
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}