贡献思想 + 数论 + 思维（例题 Problem J. Prime Game）

首先说一下贡献的思想：

举个例子：已知有n个数，从 ，求 中所有质因数出现的个数。

假设当前数为  6， 7， 5， 5， 4， 9， 9， 1， 8， 12

• 首先写出他每个数的质因数：

每个数的质因数分解

6	7	5	5	4	9	9	1	8	12
2，3	7	5	5	2	3	3	0	2	2，3

• 那么求任意区间质因数的个数，就可以转化为求解每个数在任意区间所作的贡献度。

求解贡献度

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ai	6	7	5	5	4	9	9	1	8	12
质因数	2，3	7	5	5	2	3	3	0	2	2，3
贡献度	(10) + (10)	9 + 9	8 + 8 + 8	7	6 + 6 + 6 + 6	5 + 5 + 5 + 5	4	0	2+2+2+2	1 + (1 + 2)

（求解贡献度时要注意前面已经出现和计算过的数字不在计算，防止重复。如：质因数2的贡献，在序号为1处出现质因数为2，此时他的贡献度为：

        [1, 1] , [1, 2], [1, 3] , [1, 4], [1, 5], [1, 6], [1, 7], [1, 8], [1, 9],  [1, 10]

在序号为5处出现质因数2，此时他的贡献度为：

        [1, 5](这个已经被计算过一次，舍去)

           实际贡献度：[5, 5] , [5, 6] , [5, 7] , [5, 8] , [5, 9] , [5, 10]

                                 [2, 5] , [2, 6] , [2, 7] , [2, 8] , [2, 9] , [2 , 10]

                                 [3, 5] , [3, 6] , [3, 7] , [3, 8] , [3, 9] , [3, 10]

                                 [4, 5] , [4, 6] , [4, 7] , [4, 8] , [4, 9] , [4, 10]

在序号为9处出现质因数2， 此时他的贡献度为：

          实际贡献度： [9, 9] , [9, 10]

                                 [6, 9] , [6, 10]

                                 [7, 9] , [7, 10]

                                 [8, 9] , [8, 10]

在序号为10处出现质因数2，此时他的贡献度为：

        实际贡献度：  [10, 10]

）

好处：

如果直接使用暴力的算法的话，时间复杂度为，避免不了求区间的情况，但如果使用求贡献度的思维去求，可以在O(n)的时间复杂度内完成

然后就是求解每个数的质因数分解：

可以直接用埃式筛法来得到：

const int maxn = 1e6+5;
int vis[maxn];
vector<int>v[maxn];
void init(){
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	for(int i = 2; i < maxn; i++){
		if(!vis[i]){
			v[i].push_back(i);
			for(int j = 2*i; j < maxn; j += i){
				vis[j] = 1;
				v[j].push_back(i);
			}
		}
	}
}

然后就很好求解了。。。。。。。

 

一道例题：

 

这道题就是一道求贡献度的题，只要理解上面就很好求解了：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int maxn = 1e6+5;
int vis[maxn];
vector<int>v[maxn];
vector<int>pos[maxn];
int n;
int a[maxn];

void init(){
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	for(int i = 2; i < maxn; i++){
		if(!vis[i]){
			v[i].push_back(i);
			for(int j = 2*i; j < maxn; j += i){
				vis[j] = 1;
				v[j].push_back(i);
			}
		}
	}
}

int main()
{
	init();
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
	
	LL ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		if(a[i] == 1) continue;
		int tmpnum = v[a[i]].size();
		for(int j = 0; j < tmpnum; j++){
			int now = v[a[i]][j];
			if(pos[now].size() == 0){
				ans += 1LL * (n - i + 1) * i;
				pos[now].push_back(i);
			}
			else{
				vector<int>::iterator it = pos[now].end(); it--;
				int tmppos = *it;
				ans += 1LL * (n - i + 1) * (i - tmppos);
				pos[now].push_back(i);
			}
		}
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}