算法導論 第七章：快速排序(Quicksort)

        前面我們談論到的歸併排序、堆排序的時間複雜度都是O(nlgn),快速排序的時間複雜度也爲Θ(nlgn)。但在實際中，快排序往往要優於前兩種，因爲隱藏在Θ(nlgn)中的常數因子非常小。此外，快速排序是一種就地(in place)排序，在虛擬內存、硬件緩存等環境中非常有效。

     快速排序的基本原理爲分治:

1）將數組A[p...r]劃分成兩個子數組A[p...q-1]和A[q+1...r],滿足A[p...q-1]中的元素 ≤ A[q]; A[q+1...r]中的元素 ≥ A[q]. (q的位置通過調用PARTITION程序在線性時間內計算)

2）遞歸排序兩子數組A[p...q-1]和A[q+1...r]

3）將結果合併

固定劃分

劃分僞代碼如下：

快排僞代碼如下：

性能分析：

最壞情況（worst-case）：

     當輸入已經排好序，那麼劃分時，有個子數組中將沒有元素，因此有：

                        T(n) = T(0)+T(n-1)+Θ(n)  = Θ(n²)

最好情況（best-case）:

   從中間劃分，則：

                      T(n) = 2T(n/2)+Θ(n) = Θ(nlgn)

隨機劃分

由於固定劃分對輸入有限制，因此我們採用隨機劃分，隨機選取劃分主元，僞代碼如下：

性能分析：

所以當a足夠大，滿足an/4 >Θ(n)時 ，上式成立。

完整代碼如下：

#include<iostream>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
using namespace std;

void Print(int *a)
{
	int n=a[0];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cout<<a[i]<<"   ";
	cout<<endl;
	}
int *Transform(int *a,int n)
{
	int *A=new int[n+1];
	A[0]=n;
	for(int i=0;i<n;i++)
		A[i+1]=a[i];
	return A;
	}
void swap(int &a,int &b)
{
	int temp;
	temp=a;
	a=b;
	b=temp;
	}
int Partition(int *A,int low,int high)
{
	int i=low-1;
	int t=A[high];
	for(int j=low;j<=high-1;j++)
		if(A[j]<t)
		{
			i=i+1;
			swap(A[i],A[j]);
			}
	swap(A[i+1],A[high]);
	return i+1;
	}
void QSort(int *A,int low,int high)
{
	if(low<high)
	{
		int q=Partition(A,low,high);
		QSort(A,low,q-1);
		QSort(A,q+1,high);
		}
	}

void QuickSort(int *A)
{
	int n=A[0];
	QSort(A,1,n);
	}
int Random_Partition(int *A,int low,int high)
{
	srand((unsigned)time(NULL));
	int i=rand()%(high-low+1)+low;    //random number [low,high];
	swap(A[i],A[high]);
	return Partition(A,low,high);
	}
void Random_Qsort(int *A,int low,int high)
{
	if(low<high)
	{
		int q=Random_Partition(A,low,high);
		Random_Qsort(A,low,q-1);
		Random_Qsort(A,q+1,high);
		}
	}
void Random_QuickSort(int *A)
{
	int n=A[0];
	Random_Qsort(A,1,n);
	}
int main()
{
	//int a[]={2,8,7,1,3,5,6,4};
	int N;
	cout<<"Please input the size N:";
	cin>>N;
	int a[N];
	for(int i=0;i<N;i++)
		a[i] = N-i;
	int n=sizeof(a)/sizeof(int);
	int *A=new int[n];
	A=Transform(a,n);  //a[0..n-1]->A[1..n] ;A[0]=a.length
	cout<<"----------The general Quicksort-------------"<<endl;
	int s1=clock();
	QuickSort(A);
	int e1=clock();
	//Print(A);
	cout<<"Taking time:"<<(float)e1-s1<<endl;
	
	cout<<"-----------The random Quicksort--------------"<<endl;
	int s2=clock();
	Random_QuickSort(A);
	int e2=clock();
	//Print(A);
	cout<<"Taking time:"<<(float)e2-s2<<endl;	
	}

運行結果如下：

當輸入大小爲10000的逆序數組時，隨機快排所以時間明顯更少~

【注：如有錯誤，還望指正~~~】