直線分割圓-公式遞推

題目：

圓上有N個點，每個點和其他所有點之間都有直線相連。並且任意3線不共點。計算這些直線把圓分割所得的區域的數量K。

例如：N = 2，K = 2，N = 3，K = 4。由於結果可能會很大，輸出K Mod (10^9 + 7)的結果。

Input

輸入：1個數N。(2 <= N <= 10^9)

Output

輸出數量 Mod 10^9 + 7

Input 示例

2

Output 示例

2

題目分析：

參考：http://bbs.csdn.net/topics/300104643

直接這樣考慮就行了：

線段（An+1，Ai）左邊有i-1個點，右邊有n-i個點，
顯然，任意左右兩點間的連線都與（An+1，Ai）相交，總共是(i-1)*(n-i)個交點
所以增加的塊數是(i-1)*(n-i)+1
這樣，增加一個點後，總共增加：∑[(i-1)*(n-i)+1]塊，其中i從1到n求和。
這個求和僅用到平方與自然數數列和公式，結果立等可取：n(n^2-3n+8)/6
於是，遞推公式爲：
f(n+1)=f(n)+n(n^2-3n+8)/6

利用f(1)=1，累加起來有f(n)=1+∑i(i^2-3i+8)/6，其中i從1到n-1。
這個求和最多用到三次數列的求和，結果依然立等可取：f(n)=(n^4-6n^3+23n^2-18n+24)/24


解法二：
先分析：
增加一個點後其中的一個典型線段所多劃分的區域顯然是O(n^2)，所以總共增加的區域數爲O(n^3)
遞加項是O(n^3)，顯然通項那就是O(n^4)的，也就是說f(n)是個四次多項式，即
f(n)=a*n^4 + b*n^3 + c*n^2 + d*n +e
五個參數，需要五個方程
手繪1-5的情況，可以數得：f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4,f(4)=8,f(5)=16
聯立之後即可解出通項公式

 

關鍵代碼：

 

ans = ( n4 - n3 * 6 + n2 * 23 - n * 18 + 24 ) / 24 % P;
        if( ans < 0 ) ans += P;
        return (int) ans;