【每日一題】LeetCode. 70. 爬樓梯

每日一題，防止癡呆 = =

一、題目大意

假設你正在爬樓梯。需要 n 階你才能到達樓頂。

每次你可以爬 1 或 2 個臺階。你有多少種不同的方法可以爬到樓頂呢？

注意：給定 n 是一個正整數。

來源：力扣（LeetCode）
鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs

二、題目思路以及AC代碼

今天的每日一題是兩年前做過的一道題 = =，也是一道比較經典的DP吧，下面我按照官解給出的多個思路的目的，一個個的說一下

思路一：動態規劃

這個肯定是可以用動態規劃求解的。我們令dp[i]表示爬i層臺階共有多少種方法，那麼我們又知道每次只能爬1或2個臺階，那麼dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]，直接用DP解決即可，時間複雜度是O(n)，然後我們發現其實這個DP只用到了三個數，所以空間複雜度就可以由O(n)優化到O(1)。

思路二：矩陣快速冪

我們發現，由上面提到的矩陣的遞推公式可以得到以下公式：

也就是說，我知道了f(0)和f(1)之後，我們可以通過不斷的乘一個固定的矩陣來得到想要的f(n)，那其實就是一個求矩陣冪的問題，關於冪運算，我們是有快速冪的方法可以使得複雜度是O(logn)的，當然矩陣的乘法複雜度是O(1)，然後空間複雜度也是O(1)。

思路三：直接用通項公式求解

這就是數學問題了，其實我們觀察遞推公式就可以發現，這個DP數組其實就是一個斐波那契數列，那麼我們就可以直接求通項公式，然後將n帶入求解，但這裏面會涉及到浮點數精度的問題，而且由於通項公式中含有冪次，所以時間複雜度還是O(logn)，空間複雜度是O(1)。

AC代碼

這裏只將思路一中的DP寫一下，其實也就是在求斐波那契數列而已。

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if (n < 2) return 1;

        int first = 1;
        int second = 1;
        int third;
        
        for (int i=2;i<=n;i++) {
            third = first + second;
            first = second;
            second = third;
        }

        return third;
    }
};

如果有問題，歡迎大家指正！！！