凸包——Graham掃描法

廢話

這是一個用來求出凸包的算法。

前置芝士——叉積，知道了這個之後，就可以判斷兩個向量之間的旋轉關係。

舉個例子，假如 $\vec a$ 順時針旋轉 $180\degree$ 以內能得到 $\vec b$，那麼稱 $\vec b$ 在 $\vec a$ 的右邊，否則在左邊或共線。

正題

這個Graham掃描法其實很好理解，主要有下面幾步：

1. 找到一個縱座標最小，在此基礎上橫座標最小的點，可以知道這個點肯定在凸包上，以這個點作爲原點重新建立座標系。
2. 將所有點按極角從小到大排序，極角就是這個點到原點這條線段與 $x$ 軸的夾角，極角相同的將離原點更近的放前面
3. 維護一個棧，記錄當前凸包上的點，然後將每個點依次嘗試放入。

重點就是步驟 $3$，如何進行這個嘗試。

可以發現，按極角排序後，其實相當於將所有點按逆時針排序。凸包有一個性質，即對於凸包上任意兩個相鄰的點 $a,b$，所有點都在直線 $ab$ 的左邊，或者就在線段 $ab$ 上，這意味着，$ab$ 的右邊是不能有點的。

於是，設 $a,b$ 爲此時棧頂的兩個點，每次插入一個新點 $x$ 時，如果 $x$ 在 $ab$ 的右邊或在直線 $ab$ 上並且不在線段 $ab$ 上，那麼 $b$ 肯定就不是凸包上的點，將 $b$ 踢掉，重複這個過程直到只剩一個點或 $x$ 在 $ab$ 左邊了，然後將點 $x$ 加入棧中。

畫個圖，就是這樣的（$x$ 在 $ab$ 左邊）：

模板題傳送門

代碼如下：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 100010
#define db double
#define inf 999999999

int n,m=0,t=0;
struct point{
	db x,y; point(db xx=0,db yy=0):x(xx),y(yy){}
	point operator -(const point &b){return point(x-b.x,y-b.y);}
	db operator *(const point &b){return x*b.y-y*b.x;}
};
point a[maxn],b[maxn],S,zhan[maxn];
db dis(point x,point y){return sqrt((x.x-y.x)*(x.x-y.x)+(x.y-y.y)*(x.y-y.y));}
bool cmp(point x,point y){return x*y>0||(x*y==0&&dis(S,x)<dis(S,y));}

int main()
{
	
	scanf("%d",&n);S.y=inf;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lf %lf",&a[i].x,&a[i].y);
		if(a[i].y<S.y||(S.y==a[i].y&&a[i].x<S.x)){
			if(S.y!=inf)b[++m]=S;
			S=a[i];
		} else b[++m]=a[i];
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)b[i].x-=S.x,b[i].y-=S.y;
	sort(b+1,b+m+1,cmp);
	zhan[++t]=S=point(0,0); zhan[++t]=b[1];
	for(int i=2;i<=m;i++){
		while(t>1&&(zhan[t]-zhan[t-1])*(b[i]-zhan[t-1])<=0)t--;
		zhan[++t]=b[i];
	}
	db ans=dis(zhan[t],zhan[1]);
	for(int i=1;i<t;i++)ans+=dis(zhan[i],zhan[i+1]);
	printf("%.2lf",ans);
}