下降冪多項式乘法小結

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正題

考慮求出下降冪多項式 $F(x)$ 的點值生成函數，即 $F'(x)=\sum_{i=0} \dfrac {F(i)} {i!} x^i$。

設 $F_i$ 表示 $F(x)$ 中 $x^i$ 的係數，那麼有 $F(x)=\sum_{i=0} F_i x^{\underline i}$

推一推柿子：
$F'(x)=\sum_{i=0} \frac {F(i)} {i!} x^i=\sum_{i=0} \frac {x^i} {i!} \sum_{j=0} F_j i^{\underline j}=\sum_{j=0} F_j \sum_{i=0} \frac {x^i} {i!} i^{\underline j}$

發現有一個性質：
$\sum_{i=0} \frac {i^{\underline j}} {i!} x^i=\sum_{i=0} \frac 1 {(i-j)!}x^i=x^j\sum_{i=0} \frac {x^i} {i!}=x^j e^x$

帶回去得到：
$F'(x)=\sum_{j=0} F_jx^je^x=e^x\sum_{j=0} F_jx^j$

也就是說，讓 $F(x)$ 捲上 $e^x$ 就得到 $F'(x)$ 了！

得到了 $F'(x)$ 和 $G'(x)$ 之後，就可以做點值乘法，然後逆運算，即乘以 $e^{-x}$ 就是答案。

代碼如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 600010
#define mod 998244353
#define bin(x) (1<<(x))

int n,m,F[maxn],G[maxn];
int ksm(int x,int y){int re=1;for(;(y&1?re=1ll*re*x%mod:0),y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod);return re;}
int inv[maxn],w[maxn];void prep(int lg){int N=bin(lg);
	inv[1]=1;for(int i=2;i<=N;i++)inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	for(int i=1,wn;i<N;i<<=1){
		w[i]=1;wn=ksm(3,(mod-1)/(i<<1));
		for(int j=1;j<i;j++)w[i+j]=1ll*w[i+j-1]*wn%mod;
	}
}
int limit,r[maxn];void work(int lg){for(int i=1;i<bin(lg);i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));}
int add(int x){return x>=mod?x-mod:x;}
int dec(int x){return x<0?x+mod:x;}
void ntt(int *f,int lg,int type=0)
{
	limit=bin(lg);if(type)reverse(f+1,f+limit);
	for(int i=1;i<limit;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
	for(int mid=1,t;mid<limit;mid<<=1)for(int j=0;j<limit;j+=(mid<<1))for(int i=0;i<mid;i++)
	{t=1ll*f[j+i+mid]*w[mid+i]%mod;f[j+i+mid]=dec(f[j+i]-t);f[j+i]=add(f[j+i]+t);}
	if(type)for(int i=0;i<limit;i++)f[i]=1ll*f[i]*inv[limit]%mod;
}
void NTT(int *f,int *g,int ln){
	int lg=ceil(log2(ln));work(lg);ntt(f,lg);ntt(g,lg);
	for(int i=0;i<bin(lg);i++)f[i]=1ll*f[i]*g[i]%mod;ntt(f,lg,1);
}
int fac[maxn],inv_fac[maxn];
void work(){
	fac[0]=inv_fac[0]=1;for(int i=1;i<=maxn-10;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	inv_fac[maxn-10]=ksm(fac[maxn-10],mod-2);
	for(int i=maxn-11;i>=1;i--)inv_fac[i]=1ll*inv_fac[i+1]*(i+1)%mod;
}
int EX[maxn],E_X[maxn];
void NTT_Des(int *f,int *g,int ln)
{
	int lg=ceil(log2(ln<<1));
	#define work_EX() memset(EX,0,4<<lg);for(int i=0;i<ln;i++)EX[i]=inv_fac[i]
	work_EX();NTT(f,EX,ln<<1);work_EX();NTT(g,EX,ln<<1);
	for(int i=0;i<bin(lg);i++)f[i]=i<ln?1ll*f[i]*g[i]%mod*fac[i]%mod:0;
	for(int i=0;i<ln;i++)E_X[i]=(i&1?mod-inv_fac[i]:inv_fac[i]);NTT(f,E_X,ln<<1);
}

int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&m);n++;m++;
	work();prep((int)ceil(log2((n+m)<<1)));
	for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&F[i]);
	for(int i=0;i<m;i++)scanf("%d",&G[i]);
	NTT_Des(F,G,n+m-1);
	for(int i=0;i<n+m-1;i++)printf("%d ",F[i]);
}