多項式除法小結

多項式除法

給出一個 $n$ 次多項式 $F(x)$ 和一個 $m$ 次多項式 $G(x)$，求出一個 $n-m$ 次多項式 $Q(x)$ 和一個小於 $m$ 次的多項式 $R(x)$，滿足 $F= GQ+R$。

對於一個 $n$ 次多項式 $A(x)$，$x^nA(\frac 1 x)$ 相當於將 $A$ 的係數翻轉後得到的多項式，即第 $0$ 項係數變第 $n$ 項係數，第 $1$ 項係數變第 $n-1$ 項係數……不妨將 $A(x)$ 翻轉後的多項式記爲 $A_R(x)$

將上面那個柿子左右同時翻轉前 $n$ 項係數，得到：
$\begin{aligned} x^nF(\frac1 x)&=x^n(G(\frac 1 x)Q(\frac 1 x)+R(\frac 1 x))\\ x^nF(\frac1 x)&=x^mG(\frac 1 x)x^{n-m}Q(\frac 1 x)+x^{n-m+1}x^{m-1}R(\frac 1 x)\\ F_R(x)&=G_R(x)Q_R(x)+x^{n-m+1}R_R(x)\\ \end{aligned}$

假如讓這個柿子對 $x^{n-m+1}$ 取模，那麼後面的 $x^{n-m+1}R_R(x)$ 就沒了，然後 $F_R,G_R,Q_R$ 保留小於 $x^{n-m+1}$ 的項，變成：
$F_R(x)\equiv G_R(x)Q_R(x)\pmod {x^{n-m+1}}$

誒，我們要求的 $Q(x)$ 就是一個 $n-m$ 次的多項式，這不就剛好了嘛。

轉化一下，就是：
$Q_R(x)\equiv \frac {F_R(x)} {G_R(x)}\pmod {x^{n-m+1}}$

於是對 $G_R(x)$ 求個逆，再乘上 $F_R(x)$ 得到 $Q_R(x)$，翻轉回去就得到了 $Q(x)$，然後又可以把 $R(x)$ 求出來了。

代碼如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 400010
#define mod 998244353
#define bin(x) (1<<(x))

int n,m;
int inv[maxn];
int ksm(int x,int y){int re=1;for(;(y&1?re=1ll*re*x%mod:0),y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod);return re;}
#define INV(x) ksm(x,mod-2)
struct NTT{
	vector<int> w[30];NTT(){
		inv[1]=1;for(int i=2;i<=maxn-10;i++)inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
		for(int i=1,wn;i<=19;i++){
			w[i].resize(bin(i));w[i][0]=1;wn=ksm(3,(mod-1)/bin(i));
			for(int j=1;j<bin(i-1);j++)w[i][j]=1ll*w[i][j-1]*wn%mod;
		}
	}
	int limit,r[maxn];void dft(int *f,int lg,int type=0){
		limit=bin(lg);if(type)reverse(f+1,f+limit);
		for(int i=1;i<limit;i++){r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);}
		for(int mid=1,Lg=1;mid<limit;mid<<=1,Lg++)for(int j=0;j<limit;j+=(mid<<1))for(int i=0;i<mid;i++)
		{int t=1ll*f[j+i+mid]*w[Lg][i]%mod;f[j+i+mid]=(f[j+i]-t+mod)%mod;f[j+i]=(f[j+i]+t)%mod;}
	}
}ntt;
int A[maxn],B[maxn],M;
struct POLY{
	vector<int> a;int len;void rs(int N){a.resize(len=N);}POLY(){rs(M);}
	int &operator [](int x){return a[x];}
	void dft(int *A_,int lg,int ln){for(int i=0;i<bin(lg);i++)A_[i]=(i<min(ln,len)?a[i]:0);ntt.dft(A_,lg);}
	void idft(int *A_,int lg,int ln){ntt.dft(A_,lg,1);rs(ln);for(int i=0;i<ln;i++)a[i]=1ll*A_[i]*inv[bin(lg)]%mod;}
	const POLY Mul(POLY b,int ln){
		int lg=ceil(log2(ln*2-1));dft(A,lg,ln);b.dft(B,lg,ln);
		for(int i=0;i<bin(lg);i++)B[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;b.idft(B,lg,ln);return b;
	}
}F,G,Q,R;
void getinv(POLY &f,POLY &g,int ln)
{
	if(ln==1){g.rs(1);g[0]=INV(f[0]);return;}getinv(f,g,(ln+1)>>1);
	int lg=ceil(log2(ln*2-1));f.dft(A,lg,ln);g.dft(B,lg,ln);
	for(int i=0;i<bin(lg);i++)B[i]=1ll*(2-1ll*A[i]*B[i]%mod)%mod*B[i]%mod;g.idft(B,lg,ln);
}
POLY rev(POLY f){reverse(f.a.begin(),f.a.end());return f;}
POLY getinv(POLY f,int ln=M){POLY g;getinv(f,g,ln);return g;}
POLY getdiv(POLY &f,POLY &g){return rev(rev(f).Mul(getinv(rev(g),f.len-g.len+1),f.len-g.len+1));}
POLY getmod(POLY &f,POLY &g,POLY &q){POLY r=g.Mul(q,f.len);for(int i=0;i<f.len;i++)r[i]=(f[i]-r[i]+mod)%mod;return r;}

int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&m);F.rs(n+1);G.rs(m+1);M=n+1;
	for(int i=0;i<=n;i++)scanf("%d",&F[i]);
	for(int i=0;i<=m;i++)scanf("%d",&G[i]);
	Q=getdiv(F,G);R=getmod(F,G,Q);
	for(int i=0;i<=n-m;i++)printf("%d ",Q[i]);printf("\n");
	for(int i=0;i<m;i++)printf("%d ",R[i]);
}