多項式指數函數（多項式求exp）小結

多項式指數函數

顧名思義，對於多項式 $A(x)$，要求出一個多項式 $G(x)$ 滿足 $G(x)\equiv e^{A(x)} \pmod {x^n}$。

兩邊同時求 $\ln$，得到 $\ln(G(x))\equiv A(x)$，即 $\ln(G(x))-A(x)\equiv 0$。

設 $F(B(x))=\ln(G(x))-A(x)$，那麼也就是要找到 $F(x)$ 的零點，即找到多項式 $G(x)$ 滿足 $F(G(x))\equiv 0 \pmod {x^n}$，理所當然可以把牛頓迭代拿出來用。

假設已經求出了 $G_0(x)$，滿足 $F(G_0(x))\equiv 0\pmod {x^{\lceil \frac n 2 \rceil}}$。

根據牛頓迭代，有：$G(x)=G_0(x)-\dfrac {F(G_0(x))} {F'(G_0(x))}$。

因爲我們已經知道了 $A(x)$，不妨將其看成常數項，則 $F'(x)=\dfrac 1 x$，帶入得到 $G(x)=G_0(x)-G_0(x)F(G_0(x))=G_0(x)(1-\ln(G_0(x))+A(x))$。

套上求 $\ln$ 板子就可以了。

代碼如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 600010
#define mod 998244353
#define bin(x) (1<<(x))

int n;
int inv[maxn];
int ksm(int x,int y){int re=1;for(;(y&1?re=1ll*re*x%mod:0),y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod);return re;}
#define INV(x) ksm(x,mod-2)
struct NTT{
	vector<int>w[30];NTT(){
		inv[1]=1;for(int i=2;i<=maxn-10;i++)inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
		for(int i=1,wn;i<=21;i++){
			w[i].resize(bin(i));w[i][0]=1;wn=ksm(3,(mod-1)/bin(i));
			for(int j=1;j<bin(i-1);j++)w[i][j]=1ll*w[i][j-1]*wn%mod;
		}
	}
	int r[maxn],limit;void dft(int *f,int lg,int type=0)
	{
		limit=bin(lg);if(type)reverse(f+1,f+limit);
		for(int i=1;i<limit;i++){r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);}
		for(int mid=1,Lg=1;mid<limit;mid<<=1,Lg++)for(int j=0;j<limit;j+=(mid<<1))for(int i=0;i<mid;i++)
		{int t=1ll*w[Lg][i]*f[j+i+mid]%mod;f[j+i+mid]=(f[j+i]-t+mod)%mod;f[j+i]=(f[j+i]+t)%mod;}
	}
}ntt;
int A[maxn],B[maxn],M;
struct POLY{
	vector<int> a;int len;void rs(int N){a.resize(len=N);}POLY(){rs(M);}
	int &operator [](int x){return a[x];}
	void dft(int *A_,int lg,int ln){for(int i=0;i<bin(lg);i++)A_[i]=(i<min(ln,len)?a[i]:0);ntt.dft(A_,lg);}
	void idft(int *A_,int lg,int ln){ntt.dft(A_,lg,1);rs(ln);for(int i=0;i<ln;i++)a[i]=1ll*A_[i]*inv[bin(lg)]%mod;}
	const POLY Mul(POLY b,int ln=M){
		int lg=ceil(log2(2*ln-1)),limit=bin(lg);dft(A,lg,ln);b.dft(B,lg,ln);
		for(int i=0;i<limit;i++)B[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;b.idft(B,lg,ln);return b;
	}
	const POLY operator *(const POLY b){return Mul(b);}
}F,G;
void getinv(POLY &f,POLY &g,int ln=M)
{
	if(ln==1){g.rs(1);g[0]=INV(f[0]);return;}getinv(f,g,(ln+1)>>1);
	int lg=ceil(log2(2*ln-1));f.dft(A,lg,ln);g.dft(B,lg,ln);
	for(int i=0;i<bin(lg);i++)B[i]=1ll*(2ll-1ll*A[i]*B[i]%mod+mod)%mod*B[i]%mod;g.idft(B,lg,ln);
}
POLY Jifen(POLY f){f.rs(f.len+1);for(int i=f.len-1;i>0;i--)f[i]=1ll*f[i-1]*inv[i]%mod;f[0]=0;return f;}
POLY Dao(POLY f){for(int i=0;i<f.len-1;i++)f[i]=1ll*f[i+1]*(i+1)%mod;f.rs(f.len-1);return f;}
POLY getln(POLY &f,int ln=M){POLY p;getinv(f,p,ln);return Jifen(Dao(f).Mul(p,ln-1));}
void getexp(POLY &f,POLY &g,int ln=M)
{
	if(ln==1){g.rs(1);g[0]=1;return;}getexp(f,g,(ln+1)>>1);
	POLY p=getln(g,ln);for(int i=0;i<ln;i++)p[i]=(f[i]-p[i]+mod)%mod;p[0]=(p[0]+1)%mod;
	int lg=ceil(log2(2*ln-1));p.dft(A,lg,ln);g.dft(B,lg,ln);
	for(int i=0;i<bin(lg);i++)B[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;g.idft(B,lg,ln);
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);F.rs(n);M=n;
	for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&F[i]);
	getexp(F,G,bin((int)ceil(log2(n))));
	for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",G[i]);
}