Talor Expansion

泰勒展開Taylor Expansion

引入

用$g(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots=\sum_{i=0}^\infty a_ix^i$擬合函數$f(x)=e^x$

在$x=0$點附近：
$f(0)=g(0)=a_0\\ f'(0)=g'(0)=a_1\\ f''(0)=g''(0)=2a_2\\ \cdots\\ f^{(n)}(0)=g^{(n)}(0)=n!\cdot a_n\\$
思想：利用導數丟掉常數項

多項式擬合有很多表達方式，如這裏的利用求導，如FFT的點值表示等

麥克勞林展開的展開係數公式

$a_n=\frac{1}{n!}f^{(n)}(x)|_{x=0}$

於是我們可以得到$f(x)=e^x$的麥克勞林展開
$f(x)=e^x=\sum_{i=0}^\infty\frac{1}{i!}x^i$
注意：$0!=1$

對[注意]的證明：
$由於n!=\prod_{i=1}^ni\\ 有(n-1)!=\frac{n!}{n}\\ 若n=1,\ 則0!=\frac{1!}{1}=1$
麥克勞林展開是泰勒展開在0處的展開，是泰勒展開的特殊情況，展開式不一定與原函數相等（$e^x$是個特例）

麥克勞林是牛頓的學生

泰勒展開

看一看泰勒展開係數公式的真正面目：
$a_n=\frac{1}{n!}f^{(n)}(x)|_{x=x_0}$
泰勒公式形式
$f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f'(x_0)}{1!}x+\frac{f''(x_0)}{2!}x^2+\cdots=\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}x^i$
好像這個公式可以口切好多好多高考題

解高考題有什麼意思？

我們在實際運用的時候更多地只會展開一小部分，後面的項用$R_n(x)$表示，即：
$f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f'(x_0)}{1!}x+\frac{f''(x_0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}x^n+R_n(x)$
$R_n(x)$對展開式的影響太小，故可以忽略

幾個常見展開

$e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+R_3(x)\\ \sin x=x-\frac{1}{6}x^3+R_5(x)\\ \cos x=1-\frac{1}{2}x^2+R_4(x)\\$

⭐️$\sin$，$\cos$分別爲奇函數，偶函數，展開式也爲奇函數，偶函數，並且係數成規律性變化：

0	1	2	3	4	$\cdots$
$\sin x$	$\cos x$	$-\sin x$	$-\cos x$	$\sin x$	$\cdots$

引入虛單位$i$，可以強行把$e^x$用$\sin x$與$\cos x$表示：
$e^{ix}=\cos x+i\sin x$
歐拉公式 學而思的表的梗原來從北京開到了全國各地$-e^{i\pi}=1$

我們來試一試$(1+x)^n$

首先多項式定理展開來一波~
$(1+x)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}x^i=1+\frac{n}{1!}x+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\cdots+x^n$
再來看看麥克勞林展開
$由於((1+x)^n)'=n(1+x)^{n-1},((1+x)^n)''=n(n-1)(1+x)^{n-2},\cdots\\ (1+x)^n=1+\frac{n}{1!}x+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\cdots$
我們發現$n$不爲整數該式仍然成立，這給我們一個啓示：廣義範圍內的組合數/排列/階乘的求法

小量分析/放縮法

KaTeX parse error: No such environment: eqnarray* at position 8: \begin{̲e̲q̲n̲a̲r̲r̲a̲y̲*̲}̲ &x\to 0\Righta…

等比數列

在$(1+x)^n$中，$n=-1$，可以發現
$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots\\ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots$

$\ln (1+x)$的展開

$(\ln(1+x))'=\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots\\ \Rightarrow\ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\cdots$