多項式快速冪小結

多項式快速冪

給出一個多項式 $F(x)$ 以及常數 $k$，求出 $G(x)\equiv F^k(x)\pmod {x^n}$。

之前有學到 $\ln$ 和 $\exp$，就可以用來處理這樣的指數問題。

兩邊同時取 $\ln$ 得到：$\ln G(x)\equiv\ln(F(x))^k$，根據對數函數的性質，得到 $\ln G(x)\equiv k\ln F(x)$。

然後兩邊再同時取 $\exp$，得到 $G(x)\equiv e^{k\ln F(x)}$，接下來拉一拉 $\ln$ 和 $\exp$ 的板子就好了。

發現上面有這樣一條柿子：$\ln G(x)\equiv k\ln F(x)$，而我們的數據運算都是在模 $998244353$ 下進行的，也就是說，讓 $k$ 對 $998244353$ 取模不影響答案，那麼就不需要高精度什麼的了。

代碼如下：

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 800010
#define mod 998244353
#define bin(x) (1<<(x))

int n,k;
void read(int &x)
{
	x=0;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(10ll*x+ch-'0')%mod;ch=getchar();}
}
int inv[maxn];
int ksm(int x,int y){int re=1;for(;(y&1?re=1ll*re*x%mod:0),y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod);return re;}
#define INV(x) ksm(x,mod-2)
struct NTT{
	vector<int> w[30];NTT(){
		inv[1]=1;for(int i=2;i<=maxn-10;i++)inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
		for(int i=1,wn;i<=19;i++){
			w[i].resize(bin(i));w[i][0]=1;wn=ksm(3,(mod-1)/bin(i));
			for(int j=1;j<bin(i-1);j++)w[i][j]=1ll*w[i][j-1]*wn%mod;
		}
	}
	int limit,r[maxn];void dft(int *f,int lg,int type=0)
	{
		limit=bin(lg);if(type)reverse(f+1,f+limit);
		for(int i=1;i<limit;i++){r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);}
		for(int mid=1,Lg=1;mid<limit;mid<<=1,Lg++)for(int j=0;j<limit;j+=(mid<<1))for(int i=0;i<mid;i++)
		{int t=1ll*f[j+i+mid]*w[Lg][i]%mod;f[j+i+mid]=(f[j+i]-t+mod)%mod;f[j+i]=(f[j+i]+t)%mod;}
	}
}ntt;
int A[maxn],B[maxn],C[maxn],M;
struct POLY{
	vector<int> a;int len;void rs(int N){a.resize(len=N);}POLY(){rs(M);};
	int &operator [](int x){return a[x];}
	friend const POLY operator *(POLY A_,const int x){for(int i=0;i<A_.len;i++)A_[i]=1ll*A_[i]*x%mod;return A_;}
	void dft(int *A_,int lg,int ln){for(int i=0;i<bin(lg);i++)A_[i]=(i<min(len,ln)?a[i]:0);ntt.dft(A_,lg);}
	void idft(int *A_,int lg,int ln){ntt.dft(A_,lg,1);rs(ln);for(int i=0;i<ln;i++)a[i]=1ll*A_[i]*inv[bin(lg)]%mod;}
	POLY Mul(POLY b,int ln=M){
		int lg=ceil(log2(2*ln-1));dft(A,lg,ln);b.dft(B,lg,ln);
		for(int i=0;i<bin(lg);i++)B[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;b.idft(B,lg,ln);return b;
	}
}F,G;
void getinv(POLY &f,POLY &g,int ln=M)
{
	if(ln==1){g.rs(1);g[0]=INV(f[0]);return;}getinv(f,g,(ln+1)>>1);
	int lg=ceil(log2(ln*2-1));f.dft(A,lg,ln);g.dft(B,lg,ln);
	for(int i=0;i<bin(lg);i++)B[i]=1ll*(2-1ll*A[i]*B[i]%mod+mod)%mod*B[i]%mod;g.idft(B,lg,ln);
}
POLY getinv(POLY &f,int ln=M){POLY g;getinv(f,g,ln);return g;};
POLY Jifen(POLY f){f.rs(f.len+1);for(int i=f.len-1;i>0;i--)f[i]=1ll*f[i-1]*inv[i]%mod;f[0]=0;return f;}
POLY Dao(POLY f){for(int i=0;i<f.len-1;i++)f[i]=1ll*f[i+1]*(i+1)%mod;f.rs(f.len-1);return f;}
POLY getln(POLY &f,int ln=M){return Jifen(Dao(f).Mul(getinv(f,ln),ln-1));}
void getexp(POLY &f,POLY &g,int ln=M)
{
	if(ln==1){g.rs(1);g[0]=1;return;}getexp(f,g,(ln+1)>>1);
	POLY p=getln(g,ln);for(int i=0;i<ln;i++)p[i]=(f[i]-p[i]+mod)%mod;p[0]++;g=p.Mul(g,ln);
}
POLY getexp(POLY f,int ln){POLY g;getexp(f,g,ln);return g;}
POLY getksm(POLY &f,int k,int ln=M){return getexp(getln(f,ln)*k,ln);}

int main()
{
	read(n);read(k);M=n;F.rs(n);
	for(int i=0;i<n;i++)read(F[i]);
	G=getksm(F,k,n);
	for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",G[i]);
}