子集卷積小結

廢話

是在 NOI Online 3 上被強行安利的科技……

模板題在你谷上都只有 $115$ 人過qwq……

正題

是用來做這樣的卷積的：
$c_n=\sum_{\begin{aligned}i\&j=0\\i|j=n\end{aligned}} a_i\times b_j$

如果沒有 $i\&j=0$ 這個條件那麼就是個 $FMT$ 了，考慮怎麼處理這個東西。

不妨將每個數組增加一維，設 $a_{cnt(n),n}$ 表示原來的 $a_n$，其中 $cnt(n)$ 表示集合 $n$ 內有多少個元素，在二進制下就是 $1$ 的個數。

那麼 $i\&j=0$ 這個限制就變成了 $cnt(i)+cnt(j)=cnt(n)$。

然後考慮將每個 $a_i$ 進行 $FMT$ 的正變換，然後像平常一樣 $a,b$ 對應位置乘起來得到 $c$，不過要按照 $cnt(i)+cnt(j)=cnt(n)$ 的規則來加。

最後把每個 $c_i$ 再逆變換回去，每個 $c_{cnt(i),i}$ 就對應我們要的 $c_i$。

你谷模板題傳送門

這題有點神奇，用 $fread$ 來優化會變慢……

代碼如下：

#include <cstdio>
#define mod 1000000009

int n,cnt[1<<20];
int A[21][1<<20],B[21][1<<20],C[21][1<<20];
int add(int x,int y){return x+y<mod?x+y:x+y-mod;}
void FWT(int *f,int type)
{
	for(int mid=1;mid<(1<<n);mid<<=1)
	for(int j=0;j<(1<<n);j+=(mid<<1))
	for(int i=j;i<j+mid;i++)f[i+mid]=add(f[i+mid],add(type*f[i],mod));
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<(1<<n);i++)cnt[i]=cnt[i-(i&(-i))]+1;
	for(int i=0;i<(1<<n);i++)scanf("%d",&A[cnt[i]][i]);
	for(int i=0;i<(1<<n);i++)scanf("%d",&B[cnt[i]][i]);
	for(int i=0;i<=n;i++)FWT(A[i],1),FWT(B[i],1);
	for(int i=0;i<=n;i++)for(int j=0;j<=i;j++)
	for(int k=0;k<(1<<n);k++)
	C[i][k]=add(C[i][k],1ll*A[j][k]*B[i-j][k]%mod);
	for(int i=0;i<=n;i++)FWT(C[i],-1);
	for(int i=0;i<(1<<n);i++)printf("%d ",C[cnt[i]][i]);
}