2020.06.26日常總結

$\color{green}{\texttt{UVA11039 Building Designing}}$

$\color{blue}{\texttt{[Problem]}}$

• 有 $n$ 個絕對值不相等的非 $0$ 整數，選出儘可能多的數，使得它們可以排成一個正負號交替，絕對值遞增的序列。給定 $n$ 和該序列，輸出最長的符合條件序列的長度。
• 序列中元素不一定要按照輸入順序排列。$1 \leq n \leq 5 \times 10^5$。

$\color{blue}{\texttt{[Soluntion]}}$

貪心。

直接將原數據按絕對值從小到大排序，然後把第一個數給選了，再枚舉，如果當前數的符號和上一個選的數的符號相反，就把它給選了。

下面是個人的證明，各位 dalao 不想看就不看了。

假設我們現在在考慮第 $i$ 個元素選或不選，有兩種情況：

• $i$ 不能選。

  因爲我們已經將原序列按絕對值從小到大排序了，所以不存在說第 $i$ 個數因爲絕對值小於前一個選擇的數而不能選的情況。那麼就只剩下一種情況了：那就是 $i$ 和前一個被現在的數的符號相同。

  既然兩個數符號相同，那麼必然是有我不能有你，有你不能有我，可以用 $i$ 替代前一個數，但是沒必要，畢竟答案是不變的，沒必要給自己增加麻煩。

  綜上：當 $i$ 不能選時，不選。

• $i$ 可以選。

  可能大家會有個這樣的擔心，會不會答案中 $i$ 是不選的，但是我們卻誤認爲 $i$ 是可以選的呢？

  答案是否定的。爲什麼呢？第一，因爲絕對值比 $i$ 小的數我們都已經考慮到了，現在我們就不考慮了。第二，如果 $i$ 不選，必然會有另一個數 $j$ 來代替 $i$（否則 $i$ 就是最後一個數，直接選更優）。

  根據第一，$|j|>|i|$，既然 $i$ 和 $j$ 也是有其一無其二，那麼我們選一個絕對值小的元素給後面的選擇可以留下更大的空間。

  綜上：當 $i$ 可以選時，必須選。

$\color{blue}{\texttt{[code]}}$

#define gc getchar()
#define g(c) isdigit(c)
inline int read(){
	char c=0;int x=0;bool f=0;
	while (!g(c)) f=c=='-',c=gc;
	while (g(c)) x=x*10+c-48,c=gc;
	return f?-x:x;
}
const int N=5e5+100;
int a[N],ans,n,test_number;
inline bool cmp(int x,int y){
	return abs(x)<abs(y);
}
inline bool check(int f,int l){
	if (a[f]/abs(a[f])==a[l]/abs(a[l]))
		return false;//符號不相反，不符合題意 
	else return true;//已經排序不用考慮絕對值 
}
int main(){
	test_number=read();//組數 
	while (test_number--){
		ans=1;n=read();//輸入加上初始化 
		for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
		sort(a+1,a+n+1,cmp);//按絕對值排序 
		for(register int i=2,lst=1;i<=n;i++)
			if (check(i,lst)){ans++;lst=i;}
		printf("%d\n",ans);//輸出答案 
	}
}