2020.04.11日常总结——两道codeforces

$\color{green}{\text{CF460C}}$

$\color{blue}{\text{【题目翻译】：}}$

• 你有 $n$ 朵花，高度为 $a_i$，你可以浇 $m$ 天的水，每天只浇一次。每次浇花的效果是让一个长度 $w$ 的区间内的所有花的高度 $+1$。问 $m$ 天后最矮的花的高度最大是多少。
• $1 \leq n,m,w \leq 1 \times 10^5,1 \leq a_i\leq 1 \times 10^9(1 \leq i \leq n)$。

$\color{blue}{\text{【思路】：}}$ 最小值最大，一看就是二分的题目。

二分 $\text{mid}$ 表示 $m$ 天后所有的花的高度都要 $\geq \text{mid}$。考虑如何判断（即常说的 check() 函数）。

我们可以用一个类似差分与前缀和的方法，记 $T_i$ 表示第 $i$ 朵花被浇了 $T_i$ 次，$C_i$ 表示 $T_i-T_{i-1}$，即 $T$ 数组的差分数组。

我们从前往后扫描，如果第 $i$ 朵花的高度仍然 $< \text{mid}$ 的话，我们就浇区间 $(i,i+w)$。利用差分的基本运算可以 $O(1)$ 完成这一步。

为什么可以直接从前往后扫描呢？因为我们在第 $i$ 个数后面浇花覆盖 $i$ 和直接在 $i$ 浇的效果一模一样。同时由于我们在处理第 $i$ 个数时已经保证前面的数都 $\geq \text{mid}$ 了，所以我们浇 $i$ 时没必要再浇前面的花了（已经不影响答案了），直接贪心地浇后面即可。

时间复杂度：$O(n \times \log a_i)$，空间复杂度：$O(n)$。

$\color{blue}{\text{【代码】：}}$

const int N=1e5+100;
typedef long long ll;
ll a[N],b[N],c[N<<1];
ll n,m,w,l,r,mid,ans;
inline bool check(ll mid){
	register ll x=0,cnt=0;
	memset(c,0,sizeof(c));
	for(int i=1;i<=n;i++)
		b[i]=max(mid-a[i],0ll);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		x+=c[i];//类似于前缀和 
		if ((b[i]-=x)>0){
			if ((cnt+=b[i])>m) break;
			x+=b[i];c[i+w]-=b[i];b[i]=0;
		}
	}
	return cnt<=m;
}
int main(){
	n=read();m=read();w=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=read();
	l=0;//二分下界 
	r=5e9;//二分上界 
	while (l<=r){
		mid=(l+r)>>1;
		if (check(mid)){
			l=mid+1;//尝试更高 
			ans=mid;//更新答案 
		}
		else r=mid-1;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

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$\color{green}{\text{Codeforces\ gym\ 101502\ F}}$

题目链接

$\color{blue}{\text{【题目大意】：}}$ 现在你有一个数 $x$，初始时它为 $1$，你可以通过下面两种方式之一把 $x$ 扩大。

• 把 $x$ 变为 $x+1$
• 把 $x$ 变为 $x \times 2$

记 $\text{STEP(y)}$ 表示从 $1$ 变成 $y$ 的最少步数。给定 $n$ 个数 $a_i$ 和询问数 $q$，每次询问给定两个数 $l,r$，求：

$\sum\limits_{i=l}^{r} \text{STEP(} a_i)$

共 $T$ 组输入。

$1 \leq n,q \leq 1 \times 10^5,1 \leq T \leq 50,1 \leq a_i \leq 1 \times 10^{18}(1 \leq i \leq n)$。

$\color{blue}{\text{【思路】：}}$ 首先，这道题最难的是想到如何求 $\text{STEP(} a_i )$。

我们发现一个奇数 $x$ 肯定是由 $x-1$ 通过第一中转移来的。如果 $x$ 是偶数时，它可能由 $x-1$ 或 $\dfrac{x}{2}$ 转移来。直觉告诉我们从 $1$ 到 $\dfrac{x}{2}$ 的步数肯定比从 $1$ 到 $x-1$ 少。于是我们可以贪心地规定当 $x$ 是偶数时，我们从 $\dfrac{x}{2}$ 转移到 $x$。

我们惊喜地发现：这样是对的！！！于是我们可以 $O(\log a_i)$ 的求 $\text{STEP} (a_i)$！！！

最后一个问题，如果直接求每次的输出会 TLE。很简单，前缀和就可以了！！！

$\color{blue}{\text{【代码】：}}$

#define ll long long
const int N=1e5+100;
int test_number,n,q;
ll pre[N],step[N];
int main(){
	test_number=read();
	while (test_number--){
		n=read();q=read();//输入 
		memset(pre,0,sizeof(pre));
		memset(step,0,sizeof(step));
		for(int i=1;i<=n;i++){
			register ll d=read();
			while (d!=1){
				if (d%2) step[i]++;
				step[i]++;d/=2;
			}
			pre[i]=pre[i-1]+step[i];
		}
		for(int i=1,u,v;i<=q;i++){
			u=read();v=read();//输入询问 
			print(pre[v]-pre[u-1],'\n');//输出函数
		}
	}
	return 0;
}