7.1 常数项级数
例2 判定下列级数的敛散性:
(2)n=1∑∞nnann!(a>0);
解 由于
n→∞limunun+1=n→∞lim(n+1)n+1an+1(n+1)!⋅ann!nn=an→∞lim(n+1)nnn=an→∞lim(1+n1)n1=ea,
则当0<a<e时,原级数收敛;当a>e时,原级数发散;当a=e时,n→∞limunun+1=n→∞lim(1+n1)ne=1。比值法不能作出判定,但由于当n→∞时,(1+n1)n是单调递增趋于e,则unun+1=(1+n1)ne>1,即un单调递增,又un>0,则un↛0,原级数发散。(这道题主要利用了分类讨论求解)
(4)n=1∑∞(n+1−n)pln(1+n1)(p>0)
解 由于ln(1+n1)∼n1(n→∞),则原级数与级数n=1∑∞(n+1−n)pn1同敛散,而(n+1−n)p⋅n1=(n+1+n)pn1∼2pn2pn1=2p1n1+2p1,则原级数在p>0时收敛(p⩽0时发散)。(这道题主要利用了等价无穷小代换求解)
例3 判定下列级数的敛散性:
(2)n=1∑∞(nn2+11−1);
解 由于nn2+11−1=en2+1lnn−1∼n2+1lnn<n2lnn,而n=1∑∞n2lnn收敛。(这道题主要利用了放缩法求解)
(3)n=1∑∞(n1−ln(1+n1)).
解 由泰勒公式知ln(1+n1)=n1−2n21+ο(n21),则n1−ln(1+n1)=2n21−ο(n21)∼2n21。而n=1∑∞n21收敛,则原级数收敛。(这道题主要利用了泰勒展开式求解)
例6 设n=1∑∞an为正项级数,下列结论正确的是( )
(A)若n→∞limnan=0,则级数n=1∑∞an收敛;
(B)若存在非零常数λ,使n→∞limnan=λ,则级数n=1∑∞an发散;
(C)若级数n=1∑∞an收敛,则n→∞limn2an=0;
(D)若级数n=1∑∞an发散,则存在非零常数λ,使得n→∞limnan=λ。
解 考虑an=nlnn1,级数n=1∑∞nlnn1发散,但n→∞limnan=n→∞limlnn1=0,故(A)不正确。
考虑an=n21,显然级数n=1∑∞an收敛,但n→∞limn2an=1=0,故(C)不正确。
考虑an=nlnn1,级数n=1∑∞an发散,但n→∞limnan=n→∞limlnn1=0,故(D)不正确。
由n→∞limnan=λ=0知,n→∞limn1an=λ=0,故级数n=1∑∞an与n=1∑∞n1同敛散,而n=1∑∞n1发散,则n=1∑∞an发散,故应选(B)。(这道题主要利用了级数判定条件求解)
例7 判定下列级数的敛散性;
(2)n=1∑∞sin(πn2+a2).
解 由于
sin(πn2+a2)=sin[nπ+(πn2+a2−nπ)]=(−1)nsin(πn2+a2−nπ)=(−1)nsinn2+a2+na2π.
当n充分大时,0<n2+a2+na2π<2π,此时sinn2+a2+na2π单调递减且n→∞limsinn2+a2+na2π=0,故原级数收敛。(这道题主要利用了分式有理化求解)
例14 设0⩽an<n1(n=1,2,⋯),则下列级数中肯定收敛的是( )
(A)n=1∑∞an;
(B)n=1∑∞(−1)nan;
(C)n=1∑∞an;
(D)n=1∑∞(−1)nan2.
解 取an=2n1,显然0⩽an<n1,但n=1∑∞an=n=1∑∞2n1发散,故(A)不正确。
取an=⎩⎪⎨⎪⎧2n1,2n1,n=2k−1,n=2k,(k=1,2,⋯),显然有0⩽an<n1,但
n=1∑∞(−1)nan=−21+41−231+81−⋯−22n−11+4n1−⋯=−n=1∑∞22n−11+41n=1∑∞n1,
而n=1∑∞22n−11收敛,n=1∑∞n1发散,则n=1∑∞(−1)nan发散,故(B)不正确。
取an=2n1,显然有0⩽an<n1,但n=1∑∞an=21n=1∑∞n1发散,则(C)不正确。
由0⩽an<n1知,∣(−1)nan2∣⩽an2<n21。而n=1∑∞n21收敛,则级数n=1∑∞(−1)nan2绝对收敛,因此,n=1∑∞(−1)nan2肯定收敛,故应选(D)。(这道题主要利用了级数收敛判定条件求解)
例24 设数列{an}单调递减,且n→∞liman=0,试证级数n=1∑∞(−1)nna1+a2+⋯+an收敛。
证 记bn=na1+a2+⋯+an。由于n→∞liman=0,则n→∞limbn=n→∞limna1+a2+⋯+an=0。
bn−bn+1=na1+a2+⋯+an−n+1a1+a2+⋯+an+1=n(n+1)a1+a2+⋯+an−nan+1=n(n+1)(a1−an+1)+(a2−an+1)+⋯+(an−an+1).
由于{an}单调递减,则bn−bn+1⩽0,即{bn}单调递减,故级数n=1∑∞(−1)nna1+a2+⋯+an收敛。(这道题主要利用了数列极限的性质求解)
例25 已知f(x)可导,且f(0)=1,0<f′(x)<21。设数列{xn}满足xn+1=f(xn)。证明:
(1)级数n=1∑∞(xn+1−xn)绝对收敛;
证 由于xn+1=f(xn),所以∣xn+1−xn∣=∣f(xn)−f(xn−1)∣=∣f′(ξ)(xn−xn−1)∣,其中ξ介于xn与xn−1之间。
又因为0<f′(x)<21,所以∣xn+1−xn∣⩽21∣xn−xn−1∣⩽⋯⩽2n−11∣x2−x1∣。
由于级数n=1∑∞2n−11∣x2−x1∣收敛,所以级数n=1∑∞(xn+1−xn)绝对收敛。
(2)n→∞limxn存在,且0<n→∞limxn<2。
证 设级数n=1∑∞(xn+1−xn)的前n项和为Sn,则Sn=xn+1−x1。
由(1)知,极限n→∞limSn存在,即n=1∑∞(xn+1−xn)存在,所以n→∞limxn存在。
设n→∞limxn=a,由xn+1=f(xn)及f(x)的连续性,等式两端取极限得a=f(a)。
即a是函数g(x)=x−f(x)的零点。由于g(0)=−1<0,g(2)=2−f(2)=1−[f(2)−f(0)]=1−2f′(η),其中η∈(0,2)。又g′(x)=1−f′(x)>0,所以g(x)存在唯一的零点,且零点位于区间(0,2)内,于是0<n→∞limxn<2。(这道题主要利用了函数零点存在定理求解)
7.2 幂级数
例37 求常数项级数n=1∑∞n(n+1)(n+2)1的和。
解
un=n(n+1)(n+2)1=21[n(n+1)1−(n+1)(n+2)1],Sn=21[(1×21−2×31)+(2×31−3×41)+⋯+(n(n+1)1−(n+1)(n+2)1)]=21[1×21−(n+1)(n+2)1]=41,n=1∑∞n(n+1)(n+2)1=41.
(这道题主要利用了分式分解求解)
例42 求极限n→∞lim(a1+a22+⋯+ann)(a>1)。
解 令S(x)=n=1∑∞nxn(x∈(−1,1)),则
S(x)=n=1∑∞nxn=xn=1∑∞nxn−1=x(n=1∑∞xn)′=x(1−xx)′=(1−x)2x.
所以n→∞lim(a1+a22+⋯+ann)=S(a1)=(1−a1)2a1=(1−a)2a。(这道题主要利用了构造函数求解)
练习七
10.证明:n=1∑∞n2cosnx=121(3x2−6πx+2π2),0⩽x⩽π。
证 将x2−2πx在0⩽x⩽π上展开为余弦级数得x2−2πx=−32π2+4n=1∑∞n2cosnx,故n=1∑∞n2cosnx=121(3x2−6πx+2π2)。(这道题主要利用了傅里叶级数求解)
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