目录
- A组
- B组
- C组
- 4.设A=[a0bc],其中a,b,c为实数,则下列选项中,不能使A100=E的是( )。
(A)a=1,b=2,c=−1;
(B)a=1,b=−2,c=−1;
(C)a=−1,b=2,c=1;
(D)a=−1,b=2,c=−1. - 7.设A=[acbd]。
- 8.设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,已知Em+AB可逆。
- 11.设α=[a1,a2,⋯,an]T=0,β=[b1,b2,⋯,bn]T=0,且αTβ=0,A=E+αβT,计算:
- 写在最后
A组
5.若A=E122E23(1),其中E12,E23(1)为4阶初等矩阵,则A−1=( )。
(A)E23(1);
(B)E23(−1);
(C)E12;
(D)E.
解 由初等矩阵的运算性质,有E122=E,E23−1(1)=E23(−1),从而有A−1=[E122E23(1)]−1=E23−1(1)=E23(−1),故应选(B)。(这道题主要利用了初等矩阵的运算性质求解)
9.设A=⎣⎢⎢⎡0111101111011110⎦⎥⎥⎤,则A−1=______。
解 A=⎣⎢⎢⎡0111101111011110⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡1111111111111111⎦⎥⎥⎤−⎣⎢⎢⎡1000010000100001⎦⎥⎥⎤=B−E,则B=A+E,B2=4B=4(A+E)=(A+E)2,得A2−2A=A(A−2E)=3E,故A−1=31(A−2E)=31⎣⎢⎢⎡−21111−21111−21111−2⎦⎥⎥⎤。(这道题主要利用了拆分矩阵求解)
B组
30.已知对于n阶方阵A,存在正整数k,使得Ak=O。证明矩阵E−A可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位矩阵)。
解 E=E−Ak=Ek−Ak=(E−A)(E+A+⋯+Ak−1),所以E−A可逆,且(E−A)−1=E+A+⋯+Ak−1。(这道题主要利用了等式变换求解)
33.设(2E−C−1B)AT=C−1,其中E是4阶单位矩阵,AT是4阶矩阵A的转置矩阵,且B=⎣⎢⎢⎡10002100−3210−2−321⎦⎥⎥⎤,C=⎣⎢⎢⎡1000210002101021⎦⎥⎥⎤,求A。
解 由(2E−C−1B)AT=C−1,有A=[(2C−B)T]−1=⎣⎢⎢⎡1−21001−21001−20001⎦⎥⎥⎤。(这道题主要利用了矩阵的运算性质求解)
C组
4.设A=[a0bc],其中a,b,c为实数,则下列选项中,不能使A100=E的是( )。
(A)a=1,b=2,c=−1;
(B)a=1,b=−2,c=−1;
(C)a=−1,b=2,c=1;
(D)a=−1,b=2,c=−1.
解 A为右上三角矩阵,则A100仍为右上三角矩阵,且A100=[a1000dc100](其中d=a99b+a98bc+⋯+abc98+bc99)。
若要A100=E,则a100=1,c100=1,d=0,于是a=±1,c=±1,d=0。
当a=c=1时,A=[10b1],A100=[10100b1],若100b=0,得b=0,则A=E,A100=E。
当a=−1,c=1时,A=[10b−1],A2=[10b−1][10b−1]=[1001]=E,故A100=E,b为任意常数。
当a=−1,b=1时,A=[10b−1],A2=[−10b1][10b−1]=[1001]=E,故A100=E,故A100=E,b为任意常数。
当a=c=−1时,A=[−10b−1],A100=[10−100b1],若−100b=0,得b=0,则A=−E,A100=E。
故应选(D)。(这道题主要利用了矩阵乘法求解)
7.设A=[acbd]。
(1)计算A2,并将A2用A和E线性表出;
解 A2=[acbd][acbd]=[a2+bcc(a+d)b(a+d)d2+bc]。令A2=[a2+bcc(a+d)b(a+d)d2+bc]=xA+yE=[y+xaxcxby+xd],得⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a2+bc=y+xa,b(a+d)=bx,c(a+d)=cx,d2+bc=dx+y,解得x=a+d,y=bc−ad,即A2=(a+d)A+(bc−ad)E。(这道题主要利用了线性方程组求解)
(2)证明当k>2时,Ak=O的充分必要条件为A2=O。
解 先看充分性。A2=O⇒Ak=O(k>2),显然成立;
再看必要性。Ak=O⇒∣A∣=ad−bc=0,由(1)知A2=(a+d)A,于是Ak=(a+d)k−1A=O,故A=O或a+d=0,从而有A2=(a+d)A=O。(这道题主要利用了行列式与矩阵的关系求解)
8.设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,已知Em+AB可逆。
(1)验证En+BA可逆,且(En+BA)−1=En−B(Em+AB)−1A;
解 因
==(E+BA)(E−B(E+AB)−1A)E+BA−B(E+AB)−1A−BAB(E+AB)−1AE+BA−B(E+AB)(E+AB)−1A=E+BA−BA=E.
故E+BA可逆,且(E+BA)−1=E−B(E+AB)−1A。(这道题主要利用了等式变换求解)
(2)设W=⎣⎡1+a1b1a2b1a3b1a1b21+a2b2a3b2a1b3a2b31+a3b3⎦⎤,其中a1b1+a2b2+a3b3=0。证明W可逆,并求W−1。
解
W=⎣⎡1+a1b1a2b1a3b1a1b21+a2b2a3b2a1b3a2b31+a3b3⎦⎤=⎣⎡100010001⎦⎤+⎣⎡a1b1a2b1a3b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3a3b3⎦⎤=E+[a1,a2,a3]T[b1,b2,b3]=E+AB.
由(1)知E+AB可逆,则E+BA可逆,且(E+BA)−1=E−B(E+AB)−1A,反之若E+BA可逆,则E+AB可逆,且(E+AB)−1=E−A(E+BA)−1B。
因为E+BA=E+[b1,b2,b3][a1,a2,a3]T=E+[a1b1+a2b2+a3b3]=E+O=E,故E+BA可逆,(E+BA)−1=E。
故W=E+AB可逆,且
W−1=E−A(E+BA)−1B=E−[a1,a2,a3]TE[b1,b2,b3]=⎣⎡1−a1b1−a2b1−a3b1−a1b21−a2b2−a3b2−a1b3−a2b31−a3b3⎦⎤.
(这道题主要利用了等式变换求解)
11.设α=[a1,a2,⋯,an]T=0,β=[b1,b2,⋯,bn]T=0,且αTβ=0,A=E+αβT,计算:
(1)∣A∣;
解
∣A∣=∣E+αβT∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣1+a1b1a2b1⋮anb1a1b21+a2b2⋮anb2⋯⋯⋯a1bna2bn⋮1+anbn∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣100⋮0b11+a1b1a2b1⋮anb1b2a1b21+a2b2⋮anb2⋯⋯⋯⋯bna1bna2bn⋮1+anbn∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1−a1−a2⋮−anb110⋮0b201⋮0⋯⋯⋯⋯bn00⋮1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1+i=1∑naibi00⋮0b110⋮0b201⋮0⋯⋯⋯⋯bn00⋮1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=1(i=1∑naibi=αTβ=0)
(这道题主要利用了行列式加边法求解)
(2)An;
解 An=(E+αβT)n=En+nEn−1αβT+2n(n−1)En−2(αβT)2+⋯。
当k⩾1时,有(αβT)k=(αβT)(αβT)⋯(αβT)=α(βTα)(βTα)⋯(βTα)β=O,故An=E+nαβT。(这道题主要利用了二次项展开式求解)
(3)A−1.
解 A2=(E+αβT)(E+αβT)=E+2αβT+αβTαβT=2E+2αβT−E=2A−E。得2A−A2=E,A(2E−A)=E,故A−1=2E−A=E−αβT。(这道题主要利用了等式变换求解)
写在最后
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