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一、介紹
卡塔蘭數是組合數學中一個常在各種計數問題中出現的數列。以比利時的數學家歐仁·查理·卡塔蘭（1814–1894）命名。
歷史上，清代數學家明安圖(1692年－1763年)在其《割圜密率捷法》最早用到“卡塔蘭數”。
卡特蘭序列的前11項爲：1, 1, 2, 5,14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796。
二、性質
2.1 通項公式
2.2 遞推關係
a.
b.
C(n)=C(n-1)*(4*n-2)/(n+1);（常用）
這提供了一個更快速的方法來計算卡塔蘭數。卡塔蘭數的漸近增長爲：
它的含義是當n → ∞時，左式除以右式的商趨向於1。（這可以用n!的斯特靈公式來證明。）
c. 所有的奇卡塔蘭數Cn都滿足
d. 當n > 4 是，Cn 不是素數。{Cn | (2n)! 推出 Cn若是素數則Cn < 2n 推出 n <4 }。
三、等價問題
（1）給定n個元素，依次通過一個棧，求可能的出棧序列的個數。
在2n位二進制數中填入n個1的方案數爲c(2n,n)。從中減去不符合要求（由左而右掃描，0的累計數大於1的累計數）的方案數即爲所求。
不符合要求的數的特徵是由左而右掃描時，必然在某一奇數位2m+1位上首先出現m+1個0的累計數和m個1的累計數，此後的2(n-m)-1位上有n-m個1和n-m-1個0。如若把後面這2(n-m)-1位上的0和1互換，使之成爲n-m個0和n-m-1個1，結果得1個由n+1個0和n-1個1組成的2n位數，即一個不合要求的數對應於一個由n+1個0和n-1個1組成的排列。
反過來，任何一個由n+1個0和n-1個1組成的2n位二進制數，由於0的個數多2個，2n爲偶數，故必在某一個奇數位上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在後面部分0和1互換，使之成爲由n個0和n個1組成的2n位數，即n+1個0和n-1個1組成的2n位數必對應一個不符合要求的數。
因而不合要求的2n位數與n＋1個0，n－1個1組成的排列一一對應。
顯然，不符合要求的方案數爲C(2n,n+1)。由此得出輸出序列的總數目爲C(2n,n) - C(2n,n+1) = 1/(n+1)*C(2n,n)（常用）。
類似問題 買票找零
有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零?(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
（2）n個左括號和n個右括號組成的合法匹配的字符串的個數。
解：這個題目只要將上面證明過程中的1對應左括號，0對應右括號即可。
（3）n+1個數字連乘，不同的計算順序個數。
解：這個就相當於加入了n對合法的括號。
（4）Cn表示長度2n的dyck word的個數。
（Dyck word是一個有n個X和n個Y組成的字串，且所有的部分字串皆滿足X的個數大於等於Y的個數。）
解：（1）中X對應1，Y對應0，即可。
（5）n個節點的二叉樹的可能形態的種類數。
解：（2）中的每個不同的括號串，一一映射於二叉樹的每一種情況。
這裏利用另一個通項公式推導一下：
設n個節點的二叉樹有F（n）個，則分爲根的左子樹0各節點、右子樹n-1個節點，跟的左子樹1個節點、右子樹n-2個節點，...：
F（n）= F（0）*F（n-1）+ F（1）*F（n-2）+ ... + F（n-1）*F（0）= Cn。
（6）n個非葉節點的滿二叉樹的形態數。（對稱後得到的二叉樹除非自己本身對稱，否則算是不同）
設n個節點的二叉樹有F（n）個，則分爲根1爲根，二爲根，...，n爲根：
F（n）= F（0）*F（n-1）+ F（1）*F（n-2）+ ... + F（n-1）*F（0）= Cn（卡特蘭數一般公式）。
（7）對於一個n*n的網格，每次我們能向右或者向上移動一格，那麼從左下角到右上角的所有在副對角線下方的路徑數。
解：我們將一條水平邊記爲1,垂直邊記爲0，那麼就組成了一個n個,1和n個0的序列，同（1）。
（8）凸n+2邊形進行三角形分割數。（只連接頂點對形成n個三角形）
解：將節點按順時針辦好1~n，枚舉1和其他所有點的連線情況，則：
F（n）= Σ（F（k）F（n+2-k））{2< k < n}；解得 F（n） = Cn-2。
（9）圓周上2n-2個點的不相交連弦方式。（凸2n-2多邊形的頂點也成立）
解：設Bn爲2n-2個點的不相交連弦方式數，則任取一點A有n-1中連弦方式（兩側必須是偶數個點）
兩側分別是2（k-1）和2（n-k-1）個點，分別爲Bk和Bn-k種方式，因此Bn = Cn-1。
（10）對於集合的不交叉劃分的數目。
對於集合{a,b}和{c,d}，假設他們組成了兩個區間[a,b]和[c,d]，我們假設兩個區間不重合，那麼以下四種情況當做是不交叉的：a<c<d<b，a<b<c<d，c<a<b<d與c<d<a<b，就是說兩個區間可以包含或者相離，那麼此時我們稱集合{a,b}和{c,d}是不交叉的。對於集合，將裏面元素兩兩分爲一子集，共n個，若任意兩個子集都是不交叉的，那麼我們稱此時的這個劃分爲一個不交叉劃分。
解：我們將每個子集中較小的數用左括號代替，較大的用右括號代替，那麼就是（2）。
（11）n層的階梯切割爲n個矩形的切法數。
解：我們先繪製如下的一張圖片，即n爲5的時候的階梯：
我們注意到每個切割出來的矩形都必需包括一塊標示爲*的小正方形，那麼我們此時枚舉每個*與#標示的兩角作爲矩形；
剩下的兩個小階梯就是我們的兩個更小的子問題了，於是我們的注意到這裏的式子就是Cn的遞推公式了。
（12）在一個2*n的格子中填入1到2n使得每個格子內的數值都比其右邊和上邊的所有數值都小的情況數。
解：可以轉化成括號匹配問題。
（13）2n個不同實數分成兩組A = {a1，a2...，an}，B= {b1，b2...，bn}，使得對應的數字均有ai<bi的拆分數。
解：和上面問題等價。
（14）2n-2張選票，投給甲乙，甲任意時刻得票多於乙的情況數。
解：即01串的入棧出棧證明。
（15）不定方程 Σxi = n-1（1到n-1），滿足Σ xi ≥ k （1到k）的解的個數。
解：同上。
四、具體題目
4.1 UVa 991 - Safe Salutations
求圓內不相交弦的連法數
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
using namespace std;
int f[22][22] = {0};
int main()
{
for (int i = 0 ; i <= 20 ; ++ i)
f[i][0] = f[i][i] = 1;
for (int i = 1 ; i <= 20 ; ++ i)
for (int j = 1 ; j < i ; ++ j)
f[i][j] = f[i-1][j]+f[i-1][j-1];
int n,t = 0;
while (cin >> n) {
if (t ++) cout << endl;
cout << f[2*n][n]/(n+1) << endl;
}
return 0;
}
4.2 UVa 10303 - How Many Trees?
統計BST個數
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
using namespace std;
int C[1005][1005] = {0};
int main()
{
C[1][0] = 1;
for (int i = 2 ; i < 1001 ; ++ i) {
for (int j = 0 ; j < 1000 ; ++ j)
C[i][j] += C[i-1][j]*(4*i-2);
for (int j = 0 ; j < 1000 ; ++ j) {
C[i][j+1] += C[i][j]/10;
C[i][j] %= 10;
}
for (int j = 999 ; j >= 0 ; -- j) {
C[i][j-1] += C[i][j]%(i+1)*10;
C[i][j] /= (i+1);
}
}
int n;
while (cin >> n) {
int end = 999;
while (!C[n][end]) -- end;
while (end >= 0) printf("%d",C[n][end --]);
printf("\n");
}
return 0;
}
4.3 UVa 10007 - Count the Trees
統計二叉樹的個數，由於求的不是樹的形狀數，而是所有樹的個數，所以本題要乘以n！
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
using namespace std;
int C[305][2005] = {0};
int main()
{
C[1][0] = 1;
for (int i = 2 ; i < 301 ; ++ i) {
for (int j = 0 ; j < 2000 ; ++ j)
C[i][j] += C[i-1][j]*(4*i-2);
for (int j = 0 ; j < 2000 ; ++ j) {
C[i][j+1] += C[i][j]/10;
C[i][j] %= 10;
}
for (int j = 1999 ; j >= 0 ; -- j) {
C[i][j-1] += C[i][j]%(i+1)*10;
C[i][j] /= (i+1);
}
for (int j = 0 ; j < 2000 ; ++ j)
C[i][j] *= i;
for (int j = 0 ; j < 2000 ; ++ j) {
C[i][j+1] += C[i][j]/10;
C[i][j] %= 10;
}
}
int n;
while (cin >> n && n) {
int end = 1999;
while (!C[n][end]) -- end;
while (end >= 0) printf("%d",C[n][end --]);
printf("\n");
}
return 0;
}
4.4 UVa 1478 - Delta Wave
求從（0，0）到（N，0）的路徑數，每次可以斜向上或者斜向下或者直走。
因爲不能走到負的區域，所以上升的和下降的此時必然相等，而且上升次數要隨時不小於下降次數。
由此可知，上升和下降是上面提到的括號合法匹配，枚舉所有的上升下降次數有：
邊長爲n的圖中走法數 F（n）= Σ（C（n，2*i）*Ci），其中：
C（n，2*i）是n條路中有i條上升和i條下降的方案數，Ci是i條上升和i條下降的合法組合數（內部）（卡特蘭數）。
化簡：F（n）= Σ（C（n，2*k）*C（2k，k）/（k+1））；
設： B（k）= C（n，2*k）*C（2k，k）/（k+1）
得遞推關係：B（k）= B（k-1）*（n-2*k+2）*（n-2*k+1）/（k*（k+1））
利用上面遞推關係計算即可。（貌似java的大數用起來比較快╮(╯▽╰)╭）
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
int C[4808] = {0};
int ans[4808];
int main()
{
int n;
while (~scanf("%d",&n) && n) {
memset(C, 0, sizeof(C));
memset(ans, 0, sizeof(ans));
C[0] = 1;ans[0] = 1;
for (int i = 1 ; 2*i <= n ; ++ i) {
for (int j = 0 ; j < 4800 ; ++ j)
C[j] *= (n-2*i+2)*(n-2*i+1);
for (int j = 0 ; j < 4800 ; ++ j) {
C[j+1] += C[j]/10;
C[j] %= 10;
}
for (int j = 4799 ; j >= 0 ; -- j) {
C[j-1] += C[j]%((i+1)*i)*10;
C[j] /= ((i+1)*i);
}
for (int j = 0 ; j < 4800 ; ++ j)
ans[j] += C[j];
for (int j = 0 ; j < 4800 ; ++ j) {
ans[j+1] += ans[j]/10;
ans[j] %= 10;
}
}
int end = 99;
while (!ans[end]) -- end;
while (end >= 0) printf("%d",ans[end --]);
printf("\n");
}
return 0;
}