P3374 【模板】树状数组 1 题解

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给定一个长度为 $n$ 的数组，$q$ 组操作：

• 将某一个数加上 $x$

• 求出某区间每一个数的和

显然，假设你现在什么也不会。

我们只考虑第 $2$ 个操作，即先不考虑修改，如何处理区间和的询问？

显然，对于初始的数组 $a_i$，只需要做一个前缀和 $s$ 使得：

$s_j = \sum_{i=1}^j a_i$

这样，对于一组询问：

$\sum_{i=l}^r a_i = s_r - s_{l-1}$

可以做到 $\mathcal{O}(n) - \mathcal{O}(1)$.

但是现在出题人加入了修改操作，你再修改的时候不得不把 $s$ 重推一遍。

这样 $\mathcal{O}(n) - \mathcal{O}(n)$ 我们就完了啊。

从前缀和上我们可以考虑，如何用 较少的前缀和记录较多的区间答案。

一个合法的思路是利用 $\text{RMQ}$，记：

$f_{x,y} = \sum_{i=x}^{\min(x+2^y-1 , n)} a_i$

然后可以做到 $\mathcal{O}(n \log n) - \mathcal{O}(1)$.

但是我们觉得这不好，我们用部分前缀和。

即我们只记录一部分的前缀和，查询时查询较少一部分，修改时也只要修改较少一部分，达到复杂度的均衡。

因此，我们想到了用 $\text{lowbit}$ 表示前缀的长度。你可以理解为每次 $+$ 或 $-$ 一个 $\text{lowbit}$ 会在原数的二进制中砍掉一位。

这样，我们就可以做到 $\mathcal{O}(n \log n) - \mathcal{O}(\log n)$.

这就是树状数组。其实树状数组的本质就是用 部分前缀和维护差分数组。

时间复杂度：$\mathcal{O}(n \log n) - \mathcal{O}(\log n)$.

实际得分：$100pts$

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e6+1;
typedef long long ll;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

int a[N]; ll c[N];
int n,m,x,y;

inline int lowbit(int x) {
	//求2^{x末尾0的个数} 
	return x & (-x);
}

inline ll sum(int x) {
	//求n的前缀和
	ll s=0; while(x>0) {
		s+=c[x];
		x-=lowbit(x);
	//这是x节点紧贴着的前一个区间 
	} return s;
}

inline void update(int x,int k) {
	a[x]+=k; while(x<=n) {
		c[x]+=k; //暴力加和 
		x+=lowbit(x); 
	//这是x节点紧贴着的后一个区间 
	}
}

int main(){
	n=read(); m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		x=read(); update(i,x);
	} while(m--) {
		int opt=read(); x=read(),y=read();
		if(opt==1) update(x,y);
		else printf("%lld\n",sum(y)-sum(x-1));
	}
	return 0;
}