多面集的表示定理的必要性的证明

多面集的表示定理的必要性的证明

前面的内容见 多面集的表示定理

4.2 必要性

4.2.1 有界情况下

若 S$S$ 有界，由于有界集没有方向，因此只要证明：
∀X∈S,$\mathrm{\forall }X\in S,$ X$X$ 可以被表示成 X1,⋯,Xk$X_1,\cdots ,X_k$ 的凸组合。
即存在集合 {λi∈R:∑i=1kλi=1,λi≥0,i∈N,1≤i≤k}$\{{\lambda }_i\in \mathbb{R}:\sum _{i=1}^k{\lambda }_i=1,{\lambda }_i\ge 0,i\in \mathbb{N},1\le i\le k\}$ ， 使得： X=∑i=1kλiXi$X=\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{X}_i$

下面用归纳法证明： ∀l∈N,$\mathrm{\forall }l\in \mathbb{N},$ 若存在 X∈S,$X\in S,$ 使得 ϕ(X)=n−l,$\varphi (X)=n-l,$ 则 X$X$ 可以被表示成 X1,⋯,Xk$X_1,\cdots ,X_k$ 的凸组合。
1) l=0$l=0$ 时 ϕ(X)=n$\varphi (X)=n$ ，则 X$X$ 是 S$S$ 的一个极点，即存在 i∈N,1≤i≤k,$i\in \mathbb{N},1\le i\le k,$ 使得 X=Xi,$X=X_i,$ 则命题显然成立。
2) 假设 l≤L(L∈N)$l\le L(L\in \mathbb{N})$ 时成立，则 l=L+1$l=L+1$ 时，
若 L≥n,$L\ge n,$ 则 n−l=n−(L+1)≤−1<0,$n-l=n-(L+1)\le -1<0,$ 由于 ∀X∈S,ϕ(X)≥0$\mathrm{\forall }X\in S,\varphi (X)\ge 0$ ，因此不存在 X∈S,$X\in S,$ 使得 ϕ(X)=n−l,$\varphi (X)=n-l,$ 因此命题成立。
否则， 0≤L<n$0\le L<n$ ，则 ϕ(X)=n−l=n−(L+1)=n−1−L∈[0,n−1],$\varphi (X)=n-l=n-(L+1)=n-1-L\in [0,n-1],$ 由于S$S$ 有界，根据多面集的点的性质1，
∃X1,X2∈S,$\mathrm{\exists }{X}_1,X_2\in S,$ 使得 ϕ(X1),ϕ(X2)≥ϕ(X)+1=n−(L+1)+1=n−L,$\varphi (X_1),\varphi (X_2)\ge \varphi (X)+1=n-(L+1)+1=n-L,$
存在 λ,μ>0,λ+μ=1$\lambda ,\mu >0,\lambda +\mu =1$ 使得 X=λX1+μX2$X=\lambda X_1+\mu X_2$
则 n−ϕ(X1)≤L,n−ϕ(X2)≤L,$n-\varphi (X_1)\le L,n-\varphi (X_2)\le L,$
由归纳假设，X1,X2$X_1,X_2$ 可以被表示成 X1,⋯,Xk$X_1,\cdots ,X_k$ 的凸组合。 即：
存在集合 {ui∈R:∑i=1kui=1,ui≥0,i∈N,1≤i≤k}$\{u_i\in \mathbb{R}:\sum _{i=1}^k{u}_i=1,u_i\ge 0,i\in \mathbb{N},1\le i\le k\}$ ， 使得： X1=∑i=1kuiXi$X_1=\sum _{i=1}^k{u}_i{X}_i$
存在集合 {vi∈R:∑i=1kvi=1,vi≥0,i∈N,1≤i≤k}$\{v_i\in \mathbb{R}:\sum _{i=1}^k{v}_i=1,v_i\ge 0,i\in \mathbb{N},1\le i\le k\}$ ， 使得： X2=∑i=1kviXi$X_2=\sum _{i=1}^k{v}_i{X}_i$
则
X=λX1+μX2=λ∑i=1kuiXi+μ∑i=1kviXi=∑i=1k(λui+μvi)Xi$X=\lambda X_1+\mu X_2=\lambda \sum _{i=1}^k{u}_i{X}_i+\mu \sum _{i=1}^k{v}_i{X}_i=\sum _{i=1}^k(\lambda u_i+\mu v_i)X_i$
其中 ∑i=1k(λui+μvi)=λ∑i=1kui+μ∑i=1kvi=λ+μ=1,$\sum _{i=1}^k(\lambda u_i+\mu v_i)=\lambda \sum _{i=1}^k{u}_i+\mu \sum _{i=1}^k{v}_i=\lambda +\mu =1,$
λui+μvi≥0,∀,i∈N,1≤i≤k$\lambda u_i+\mu v_i\ge 0,\mathrm{\forall },i\in \mathbb{N},1\le i\le k$
由1）2），命题成立。
∀X∈S,$\mathrm{\forall }X\in S,$ 显然 0≤ϕ(X)≤n,$0\le \varphi (X)\le n,$ 因此 X$X$ 可以被表示成 X1,⋯,Xk$X_1,\cdots ,X_k$ 的凸组合。

4.2.2 无界情况下

若 S$S$ 无界，∀X0∈S,$\mathrm{\forall }{X}_0\in S,$
令 a=max({|Xi|:i∈N,1≤i≤k}∪{|X0|}),$a=max\left(\{|X_i|:i\in \mathbb{N},1\le i\le k\}\cup \{|X_0|\}\right),$
多面集 S¯={X∈S:|X|≤a},$\overline{S}=\left\{X\in S:|X|\le a\right\},$
则 ∀i∈N,1≤i≤k,Xi∈S¯,$\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N},1\le i\le k,X_i\in \overline{S},$ 由于 S¯⊆S,$\overline{S}\subseteq S,$ 因此 Xi$X_i$ 也是 S¯$\overline{S}$ 的极点。
由于 S¯$\overline{S}$ 有界，则由结论1， S¯$\overline{S}$ 有有限个极点，不妨设其他极点为 {Xk+1,⋯,Xk+q},$\left\{X_{k+1},\cdots ,X_{k+q}\right\},$ 由结论4.2.1， X0$X_0$ 可以被表示成 X1,⋯,Xk+q$X_1,\cdots ,X_{k+q}$ 的凸组合。
即存在集合 {λi∈R:∑i=1k+qλi=1,λi≥0,i∈N,1≤i≤k+q}$\{{\lambda }_i\in \mathbb{R}:\sum _{i=1}^{k+q}{\lambda }_i=1,{\lambda }_i\ge 0,i\in \mathbb{N},1\le i\le k+q\}$ ， 使得：
X0=∑i=1k+qλiXi=∑i=1kλiXi+∑i=k+1k+qλiXi$X_0=\sum _{i=1}^{k+q}{\lambda }_i{X}_i=\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{X}_i+\sum _{i=k+1}^{k+q}{\lambda }_i{X}_i$
下面证明：
设 X$X$ 是 S¯$\overline{S}$ 的极点，但不是 S$S$ 的极点。则：
X$X$ 可表示成 S$S$ 中的一个极点 X′$X^{\prime }$ 与 S$S$ 中的一个极方向 d⃗ $\overrightarrow{d}$ 的和，即： X=X′+d⃗ $X=X^{\prime }+\overrightarrow{d}$

证明：
不妨设：
{ciX=b′i,i∈N,1≤i≤pciX<b′i,i∈N,p+1≤i≤m+n(1)$\begin{array}{}\text{(1)}& \{\begin{array}{l}{c}_{i}X=b_i^{\prime },i\in \mathbb{N},1\le i\le p\\ c_{i}X<b_i^{\prime },i\in \mathbb{N},p+1\le i\le m+n\end{array}\end{array}$
其中 p∈N,0≤p≤m+n$p\in \mathbb{N},0\le p\le m+n$
令 C1=⎛⎝⎜⎜c1⋮cp⎞⎠⎟⎟,$C_1=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_p\end{array}\right),$ C2=⎛⎝⎜⎜cp+1⋮cm+n⎞⎠⎟⎟,β1=⎛⎝⎜⎜b′1⋮b′p⎞⎠⎟⎟,β2=⎛⎝⎜⎜b′p+1⋮b′m+n⎞⎠⎟⎟,$C_2=\left(\begin{array}{c}{c}_{p+1}\\ ⋮\\ c_{m+n}\end{array}\right),{\beta }_1=\left(\begin{array}{c}{b}_1^{\prime }\\ ⋮\\ b_p^{\prime }\end{array}\right),{\beta }_2=\left(\begin{array}{c}{b}_{p+1}^{\prime }\\ ⋮\\ b_{m+n}^{\prime }\end{array}\right),$
则(1) 可化为： {C1X=β1C2X<β2$\{\begin{array}{l}{C}_{1}X={\beta }_1\\ C_{2}X<{\beta }_2\end{array}$
由于 X$X$ 不是 S$S$ 的极点，因此 r(C1)<n$r(C_1)<n$
令 cm+n+1=11×n,b′m+n+1=a,$c_{m+n+1}=1_{1\times n},b_{m+n+1}^{\prime }=a,$
则 S¯={X∈Rn:ciX≤b′i,i∈N,1≤i≤m+n+1}$\overline{S}=\{X\in {\mathbb{R}}^n:c_{i}X\le b_i^{\prime },i\in \mathbb{N},1\le i\le m+n+1\}$
令向量组 M={ci:ciX=b′i,i∈N,1≤i≤m+n+1}$M=\{c_i:c_{i}X=b_i^{\prime },i\in \mathbb{N},1\le i\le m+n+1\}$
由于 X$X$ 是 S¯$\overline{S}$ 的极点，因此 r(M)=n,$r(M)=n,$
若 |X|<a,$|X|<a,$ 则 M=C1,$M=C_1,$ 于是 r(M)=r(C1)<n,$r(M)=r(C_1)<n,$ 与 r(M)=n$r(M)=n$ 矛盾。因此 |X|=a$|X|=a$
令 C3=(C1cm+n+1),β3=(β2b′m+n+1),$C_3=\left(\begin{array}{c}{C}_1\\ c_{m+n+1}\end{array}\right),{\beta }_3=\left(\begin{array}{c}{\beta }_2\\ b_{m+n+1}^{\prime }\end{array}\right),$
则 M=C3,$M=C_3,$ 因此 r(C3)=n$r(C_3)=n$
于是 r(C1)≥n−1,$r(C_1)\ge n-1,$ 因此 ϕ(X)=r(C1)=n−1$\varphi (X)=r(C_1)=n-1$
根据多面集的点的性质2， ∃Y∈Rn,Y≠0⃗ ,∃t0∈R,$\mathrm{\exists }Y\in {\mathbb{R}}^n,Y\ne \overrightarrow{0},\mathrm{\exists }{t}_0\in \mathbb{R},$ ∃X′=X+t0Y∈S,$\mathrm{\exists }{X}^{\prime }=X+t_{0}Y\in S,$
使得 ϕ(X′)≥ϕ(X)+1=n−1+1=n,$\varphi (X^{\prime })\ge \varphi (X)+1=n-1+1=n,$ 因此 X′$X^{\prime }$ 是 S$S$ 的一个极点。
且 ∀i∈N,1≤i≤m+n,$\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N},1\le i\le m+n,$ 若 ciX=b′i$c_{i}X=b_i^{\prime }$ 则 ciX′=b′i$c_i{X}^{\prime }=b_i^{\prime }$ 即 C1Y=0⃗ $C_{1}Y=\overrightarrow{0}$
不妨设 t0<0$t_0<0$ （否则 t0>0,$t_0>0,$ 可取 t′0=−t0<0,Y′=−Y$t_0^{\prime }=-t_0<0,Y^{\prime }=-Y$ ）
下面证明 ∀t>0,$\mathrm{\forall }t>0,$ X+tY∈S$X+tY\in S$ ：
若 ∃t1>0,$\mathrm{\exists }{t}_1>0,$ 使得 X+t1Y∉S,$X+t_{1}Y\notin S,$ 由于 S$S$ 是凸集，则 ∀t>t1,$\mathrm{\forall }t>t_1,$ X+tY∉S,$X+tY\notin S,$ 否则 X+t1Y=t−t1tX+t1t(X+tY)∈S,$X+t_{1}Y={\displaystyle \frac{t-t_1}{t}}X+{\displaystyle \frac{t_1}{t}}(X+tY)\in S,$ 与 X+t1Y∉S$X+t_{1}Y\notin S$ 矛盾。
于是集合 T1={t∈R:X+tY∈S}$T_1=\{t\in \mathbb{R}:X+tY\in S\}$ 存在上界。则集合 T2={t∈R:tC2Y<β2−C2X}⊆T1$T_2=\{t\in \mathbb{R}:t{C}_{2}Y<{\beta }_2-C_{2}X\}\subseteq T_1$ 存在上界。
根据多面集的点的性质的引理， ∃t2>0,$\mathrm{\exists }{t}_2>0,$ ∃X∗=X+t2Y∈S,$\mathrm{\exists }{X}^{\ast }=X+t_{2}Y\in S,$ 使得 ϕ(X∗)≥ϕ(X)+1=n−1+1=n,$\varphi (X^{\ast })\ge \varphi (X)+1=n-1+1=n,$
因此 X∗$X^{\ast }$ 是 S$S$ 的一个极点。
则 X=t2(−t0)+t2X′+−t0(−t0)+t2X∗=t2(−t0)+t2(X+t0Y)+−t0(−t0)+t2(X+t2Y)$X={\displaystyle \frac{t_2}{(-t_0)+t_2}}{X}^{\prime }+{\displaystyle \frac{-t_0}{(-t_0)+t_2}}{X}^{\ast }={\displaystyle \frac{t_2}{(-t_0)+t_2}}(X+t_{0}Y)+{\displaystyle \frac{-t_0}{(-t_0)+t_2}}(X+t_{2}Y)$
于是 X$X$ 是 S$S$ 的两个极点 X′$X^{\prime }$ 与 X∗$X^{\ast }$ 的凸组合，又 X′,X∗∈S¯,$X^{\prime },X^{\ast }\in \overline{S},$ 因此 X$X$ 不是 S¯$\overline{S}$ 的极点，与 X$X$ 是 S¯$\overline{S}$ 的极点矛盾。
因此 Y$Y$ 是 S$S$ 内的一条射线的方向。由定理2， Y$Y$ 是 S$S$ 的一个方向。令 d⃗ 1=Y|Y|,${\overrightarrow{d}}_1={\displaystyle \frac{Y}{|Y|}},$ 则 d⃗ 1∈S′${\overrightarrow{d}}_1\in S^{\prime }$
由于 C1Y=0⃗ ,$C_{1}Y=\overrightarrow{0},$ 则 {C1d⃗ 1=0⃗ ∣∣d⃗ 1∣∣=1,$\{\begin{array}{l}{C}_1{\overrightarrow{d}}_1=\overrightarrow{0}\\ \left|{\overrightarrow{d}}_1\right|=1\end{array},$ 因此 C3d⃗ 1=(0⃗ 1),$C_3{\overrightarrow{d}}_1=\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{0}\\ 1\end{array}\right),$
由于 r(C3)=n,$r(C_3)=n,$ 因此 d⃗ $\overrightarrow{d}$ 是 S′$S^{\prime }$ 的一个极点。
因此 Y$Y$ 是 S$S$ 的一个极方向。则 d⃗ =−t0Y$\overrightarrow{d}=-t_{0}Y$ 也是 S$S$ 的一个极方向。
则 X=X′−t0Y=X′+d⃗ $X=X^{\prime }-t_{0}Y=X^{\prime }+\overrightarrow{d}$

于是 ∀i∈N,k+1≤i≤k+q,$\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N},k+1\le i\le k+q,$ 存在 ni,mi∈N,1≤ni≤k,1≤mi≤l,$n_i,m_i\in \mathbb{N},1\le n_i\le k,1\le m_i\le l,$ 存在 wi≥0$w_i\ge 0$ ，使得 Xi=Xni+wid⃗ mi$X_i=X_{n_i}+w_i{\overrightarrow{d}}_{m_i}$
因此 X0=∑i=1kλiXi+∑i=k+1k+qλi(Xni+wid⃗ mi)=∑i=1kλiXi+∑i=k+1k+qλiXni+∑i=k+1k+qλiwid⃗ mi$X_0=\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{X}_i+\sum _{i=k+1}^{k+q}{\lambda }_i\left(X_{n_i}+w_i{\overrightarrow{d}}_{m_i}\right)=\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{X}_i+\sum _{i=k+1}^{k+q}{\lambda }_i{X}_{n_i}+\sum _{i=k+1}^{k+q}{\lambda }_i{w}_i{\overrightarrow{d}}_{m_i}$
合并同类项即得结论：

1) 令 ni=i,1≤i≤k,$n_i=i,1\le i\le k,$ δij={1,0,ni=j,ni≠j,1≤i≤k+q,1≤j≤k${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1,& n_i=j,\\ 0,& n_i\ne j,\end{array}1\le i\le k+q,1\le j\le k$ 则：
∑i=1kλiXi+∑i=k+1k+qλiXni=∑i=1k+qλiXni$\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{X}_i+\sum _{i=k+1}^{k+q}{\lambda }_i{X}_{n_i}=\sum _{i=1}^{k+q}{\lambda }_i{X}_{n_i}$ =∑i=1k+qλi(∑j=1kδijXj)$=\sum _{i=1}^{k+q}{\lambda }_i\left(\sum _{j=1}^k{\delta }_{ij}{X}_j\right)$ =∑j=1k(∑i=1k+qλiδij)Xj$=\sum _{j=1}^k\left(\sum _{i=1}^{k+q}{\lambda }_i{\delta }_{ij}\right)X_j$
且 ∑j=1k(∑i=1k+qλiδij)=∑i=1k+qλi(∑j=1kδij)=∑i=1k+qλi=1,$\sum _{j=1}^k\left(\sum _{i=1}^{k+q}{\lambda }_i{\delta }_{ij}\right)=\sum _{i=1}^{k+q}{\lambda }_i\left(\sum _{j=1}^k{\delta }_{ij}\right)=\sum _{i=1}^{k+q}{\lambda }_i=1,$
∑i=1k+qλiδij≥0,∀j∈N,1≤j≤k$\sum _{i=1}^{k+q}{\lambda }_i{\delta }_{ij}\ge 0,\mathrm{\forall }j\in \mathbb{N},1\le j\le k$
2) 令 σij={1,0,mi=j,mi≠j,k+1≤i≤k+q,1≤j≤l${\sigma }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1,& m_i=j,\\ 0,& m_i\ne j,\end{array}k+1\le i\le k+q,1\le j\le l$
则 ∑i=k+1k+qλiwid⃗ mi=∑i=k+1k+qλiwi(∑j=1lσijd⃗ j)=∑j=1l(∑i=k+1k+qλiwiσij)d⃗ j,$\sum _{i=k+1}^{k+q}{\lambda }_i{w}_i{\overrightarrow{d}}_{m_i}=\sum _{i=k+1}^{k+q}{\lambda }_i{w}_i\left(\sum _{j=1}^l{\sigma }_{ij}{\overrightarrow{d}}_j\right)=\sum _{j=1}^l\left(\sum _{i=k+1}^{k+q}{\lambda }_i{w}_i{\sigma }_{ij}\right){\overrightarrow{d}}_j,$
且 ∑i=k+1k+qλiwiσij≥0,∀j∈N,1≤j≤l$\sum _{i=k+1}^{k+q}{\lambda }_i{w}_i{\sigma }_{ij}\ge 0,\mathrm{\forall }j\in \mathbb{N},1\le j\le l$