問題描述
假設已有N張稀疏的圖像，大小爲800*800。請問如何通過稀疏表達的方式對原有圖像數據進行壓縮，同時保證圖像儘量不失真。y向量代表原有的圖像（640000維），A是字典矩陣（K*640000），x是稀疏表示向量（K維），因爲K遠遠小於N，我們認爲，稀疏表示後的數據獲得了大幅的壓縮。求A的過程通常稱爲字典學習。已知A，求x的過程稱爲稀疏表示。通常這兩者可以等同。在實際訓練的過程中，爲了減少計算量，通常將圖像切割爲小的patch（8*8或16*16），然後針對這些patch進行訓練獲得patch字典。另外，值得一提的是，還有一個很火的概念叫壓縮感知，和稀疏表示有些關聯，但主要是關注在如何減少採樣點上。
模型建立
可以將該問題看成一個優化問題，第一項是確保A和xi能夠很好地重構yi（失真少），第二項是確保xi儘量稀疏（字典構建耦合性小）。正則項本該用L0範數（非零項的個數），但因爲比較難求解，這裏用L1範數代替，L1範數代表的是絕對值的和。
模型求解
輸入是yi，需要求解的是A和xi。剛開始的時候，A是一個由部分yi構成的初始矩陣，然後求解xi，xi確定後，可以再求優化後的A，如此反覆迭代獲得最優的結果。這種求解方式稱爲KSVD，速度比較快。這是兩步求解的算法：先固定A，求x，再固定x更新A，交替進行。K-SVD和K-means方法本質上都屬於一種壓縮的思想，都主要包含以下兩個步驟：（1）稀疏編碼；（2）字典更新。K-SVD中，稀疏編碼可使用OMP方法，然後字典更新使用SVD奇異值分解，細節可參考以下鏈接的內容：（http://blog.csdn.net/hjimce/article/details/50810129，https://wenku.baidu.com/view/f31e3f82e43a580216fc700abb68a98271feac56.html）
在K-means方法中，K-means 先隨機選擇K個初始點作爲字典，K個初始點就代表K類。然後通過K-means聚類，聚出K個類（稀疏編碼階段），每個聚類中心（均值）做爲新的字典（字典更新）。K-means的編碼矩陣X是一個高度稀疏的矩陣，X的每一列就只有一個非零的元素，對應聚類中心。而K-SVD的編碼矩陣的每一列可以有多個非零元素。
K-SVD方法的求解步驟如下：
- 基本定義
Y是一個矩陣，是參與訓練的樣本yi的集合，樣本數量爲n，假設樣本的維度是m。
A是一個矩陣，是字典，該矩陣是k*m，其中k是字典中原子的數量，m是原子的維度（和樣本維度一致）
X是一個矩陣，是稀疏代碼xi的集合，xi的維度是m
- 初始化
從樣本集Y中隨機挑選k個樣本，作爲A的初始值；並且初始化X爲0。
- 求解xi
爲了簡單起見，我們抽出一個樣本進行討論，假定樣本爲y向量，稀疏代碼爲x向量。現在y和A算是已知的，求解x，同時滿足x儘量的稀疏，也就是非零元素儘量的少。假設A爲[a1,a2,a3,a4,a5]，其中有5個原子。首先求出離y距離最近的原子，假設是a3。那麼我們就可以求出一個初步的x爲[0,0,c3,0,0]，c3是一個未知係數，代表原子的權重。假定y=c3*a3。可求得c3的值。接着我們用求出的c3求殘差向量y'=y-c3*α3，y'是一個預設的閾值向量，當y'小於閾值的話，則停止計算，如果不小於的話，轉到下一步。
計算剩餘的原子a1,a2,a4,a5中與殘差向量y'距離最近的，假設是a1，那麼更新x爲[c1,0,c3,0,0]，假設y=c1*a1+c3*a3，求解出c1，然後更新殘差向量y'=y-c1*a1-c3*α3。判斷是否小於閾值，如果不滿足，再繼續求下一個最近的原子的係數。求解原子係數的數量也可以指定爲一個常量，例如3，那就代表迭代3次。
- 更新字典
通過上一個步驟可以求出所有的xi，接着就可以更新字典A了。K-SVD的方法是逐個地更新字典的原子以及編碼。