在超分辨率重建過程中的圖像塊配對時，經常會提到非線性映射這麼一個詞，所以抽時間整理一下關於線性映射和非線性映射的相關概念。
爲了搞清楚線性映射，首先得搞清楚線性空間，爲了搞清楚線性空間，首先要知道數域的概念以及由此展開的n多線性空間的概念。
數域：是一個集合含有加法和乘法，含有元素0，對於任意元素a，有a+0=a，含有元素1，滿足a*1=a，任意元素a存在負元素b，滿足a+b=0。非0元素a存在逆元素b，滿足a*b=1，對於加法和乘法封閉。常用的數域有有理數域，實數域和複數域。
映射：映射的概念是對於集合S到S’有一規則S->S‘，對於S中的任意元素，在S’中都有元素a‘與之對應，記爲f（a）= a‘
線性空間：設 V 是一個非空的集合，F 是一個數域，在集合 V 中定義兩種代數運算, 一種是加法運算，用 + 來表示，另一種是數乘運算, 用 ∙ 來表示, 並且這兩種運算滿足下列八條運算律：
（1）加法交換律：a+b=b+a；
（2）加法結合律：（a+b）+c=a+（b+c）；
（3）零元素：對任意a∈V，都有a+0 =a；
（4）對於V中任意的元素a都存在b使得a+b=0；
（5）數1:對a∈V，有a*1=a；
（6）對k,l∈F,α∈V 有：
(kl) ∙α= k ∙ (l ∙α)
（7）對k,l∈F,α∈V 有：
(k+l) ∙α= k ∙ α+l ∙α
（8）對k∈F,α, β∈V 有：
k ∙(α+β)= k ∙ α+k ∙β
滿足如山條件的集合V，稱爲F上的線性空間。
如R！表示R上全體無序數列表示的集合
定義當中的加法和數乘
那麼R！爲實數域上的一個線性空間，這個有點像矩陣的加法和點乘。
線性空間的一些基本性質：
- （1）含有零向量的向量組一定線性相關；
- （2）整體無關則部分無關；部分相關則整體相關；
- （3）如果含有向量多的向量組可以由含有向量少的向量組線性表出，那麼含有向量多的向量組一定線性相關；
- （4）向量組的秩是唯一的，但是其極大線性無關組並不唯一；
- （5）如果向量組（I）可以由向量組（II）線性表出，那麼向量組（I）的秩小於等於向量組（II）的秩；
- （6）等價的向量組秩相同。
線性相關／無關：
在線性代數裏，矢量的一組元素中，若沒有矢量可用有限個其他矢量的線性組合所表示，則稱爲線性無關或線性獨立(linearly independent)，反之稱爲線性相關(linearly dependent)。
線性組合：
類似A=a1v1+a2v2+...+anvn;
打個比方來說：cosx，cos2x，cosnx，這麼一組函數組就是線性無關的，因爲不能用其他的線性組合來表示。
線性空間的基底和維數：
定義：設V爲數域F上的一個線性空間，如果V中的n個線性無關向量a1，a2，...,an使得V中的任意一個向量a都可以用上面那n個線性無關的向量線性表示出來：
a=k1a1+k2a2+...+knan；
則稱a1，a2，...,an爲V的一個基底，（k1，k2，...,kn）爲a在基底下的座標，稱V爲n維線性空間記dimV=n。
這個很好理解，結合我們的直角座標系就能很容易的理解。線性空間的基底並不唯一，但是維數是唯一確定的。由維數的定義, 線性空間可以分爲有限維線性空間和無限維線性空間。
基變換與座標變換：
上面說了，線性空間的基底並不唯一，比如直角座標系，我把x軸y軸轉一下，只要保持兩者之間垂直，就是另一組基底了，那麼設a1，a2,...,an;b1,b2,...bn是n維線性空間V的兩組基底，他們之間存在如下關係：
那麼對於所有的b1，b2就有下面這個式子
納悶我們就稱n階方陣
線性空間的子空間：
設V爲數域F上的一個n維線性空間，W爲V的一個非空子集合，如果對於任意的a，b屬於W，k，l屬於F都有
ka+lb屬於W，那麼稱W爲V的一個子空間。每個有限維空間V，必定有兩個平凡子空間，即單個零向量的子空間和它本身。
線性變換：
講了上面那麼多關於線性空間的知識，終於的到線性變換了，也就是我們所說的線性映射。（當然變換和映射也有區別，如果S的映射的集合S‘和S相等，那麼這個映射可以稱爲變換，也就說線性變換肯定是線性映射了
）
定義：設V是數域F上的線性空間，T : V →V 爲V上的映射，則稱T爲線性空間V上的一個變換或算子。若變換滿足：對任意的k,l∈F和α,β∈V，有
則稱T爲線性變換或者線性算子。
線性變換的性質：
（1）T（0）=0；
（2）T（-x）=-T（x）
（3）線性相關的向量組的象仍然是線性相關的
例如
線性變換的矩陣表示
即
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