【位运算】C014_LC_ 可被 5 整除的二进制前缀（暴力大数 / 同余（2转10进制 新发现)）

一、Problem

给定由若干 0 和 1 组成的数组 A。我们定义 N_i：从 A[0] 到 A[i] 的第 i 个子数组被解释为一个二进制数（从最高有效位到最低有效位）。

返回布尔值列表 answer，只有当 N_i 可以被 5 整除时，答案 answer[i] 为 true，否则为 false。

输入：[0,1,1]
输出：[true,false,false]
解释：
输入数字为 0, 01, 011；也就是十进制中的 0, 1, 3 。只有第一个数可以被 5 整除，因此 answer[0] 为真。

提示：

1 <= A.length <= 30000
A[i] 为 0 或 1

二、Solution

方法一：大数暴力

超时之 23/24

import java.math.*;
class Solution {
    public List<Boolean> prefixesDivBy5(int[] A) {
        int n = A.length;
        StringBuilder[] pre = new StringBuilder[n+1];
        pre[0] = new StringBuilder();
        List<Boolean> ans = new LinkedList<>();
        
        for (int i = 1; i <= n; i++)  {
            pre[i] = new StringBuilder(pre[i-1]);
            pre[i].append(A[i-1]);
        }
        
        BigInteger Five = new BigInteger("5"), zero = BigInteger.ZERO;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            BigInteger v = new BigInteger(pre[i].toString(), 2);
            ans.add(zero.equals(v.mod(Five)));
        }
        return ans;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$，
• 空间复杂度：$O()$，

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方法二：同余

这题的关键是：知道一个二进制串 s，如何按照从左到右的顺序去算出串对应的十进制呢？（ps：我们 2 转 10 进制，我们一般是从低位到高位进行计算的），直接给出公式把：
$x = (x << 1) + s[i]（i∈[0,n-1]）$

class Solution {
    public List<Boolean> prefixesDivBy5(int[] A) {
        List<Boolean> ans = new LinkedList<>();
        int x = 0;
        for (int v : A) {
            x = ((x << 1) + v) % 5;
            ans.add(x % 5 == 0); 
        }
        return ans;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，
• 空间复杂度：$O(n)$，