Codeforces 678E Another Sith Tournament(狀壓dp，概率dp)

題意：n個人的擂臺賽，起初主角選一個人作爲擂主，然後主角選擇人上去打擂，直到剩最後一個人，並且主角是擂主，問最後主角是擂主的概率最大是多少

題解：dp[i][j]表示i狀態下，j是擂主，最後主角勝出的概率

            dp[i][j] = max(dp[i - (1<<k)][j] * p[j][k] + dp[i - (1<<j)][k] * p[k][j])

            ans = max(dp[((1<<n) - 1)][i])

            剛開始一直沒想通爲何要倒着dp，邊界狀態是dp[1][0] = 1，也就是說，最後主角勝出的概率爲1，然後往回推，這樣就想通了

double p[20][20];
double dp[(1<<18)+3][20];

int main() {
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            scanf("%lf",&p[i][j]);
        }
    }
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[1][0]=1;
    for(int i=2;i<(1<<n);i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            if(i&(1<<j)){
                for(int k=0;k<n;k++){
                    if((i&(1<<k)) && j!=k){
                        dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-(1<<k)][j]*p[j][k]+dp[i-(1<<j)][k]*p[k][j]);
                    }
                }
            }
        }
    }
    double ans=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        ans=max(ans,dp[(1<<n)-1][i]);
    }
    printf("%.7f\n",ans);
    return 0;
}