P2290 [HNOI2004]树的计数

P2290 [HNOI2004]树的计数

传送门

思路：$prufer序列$板子题。

显然有公式：$\dfrac{(n-2)!}{\sum\limits_{i=1}^n(degree[i]-1)!}$

因为此题数据范围较大，可能会爆$long\ long$，但是题目保证答案不会超过$LL$,所以我们考虑转化为乘法做。

显然上述公式等价于从$n-2$个数，分别选出$d[1]-1$个位置放1，$d[2]-2$个位置放$2$，$\dots,d[n]-1$个位置放$n$，所以前提是必须满足$\sum\limits_{i=1}^n(degree[i]-1)=n-2$

所以每次我们相当于从剩下的数选出$d[i]-1$个数，即为$C(n-2-sum,d[i]-1)$。

第一次：$C(n-2,d[1]-1)$

第二次: $C(n-2-(d[1]-1),d[2]-1)$

第三次：$C(n-2-(d[1]-1)-(d[2]-1),d[3]-1)$。

依次类推，再根据乘法原理即可算出答案，这样巧妙避免除法爆$LL$.

此外此题需要注意，$n=1$需要特判，因为公式是从 $n-2$计算的，还需对度数为0点的特判，显然存在这样的孤点，不可能构成树。

当$n==1时$，如果$d[1]==0$显然只有唯一解，否则无解，因为孤点不可能有度数。

时间复杂度：$O(n^2)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=150+5,M=1e6+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first 
#define se second
ll c[N][N],d[N],sum,ans=1;
void fun(int n){
	for(int i=0;i<=n;i++) c[i][i]=c[i][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<i;j++) c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
}
int main(){
	int n,ok=1;
	scanf("%d",&n);
	if(n==1){	//特判n=1的情况. 
	 scanf("%d",&d[1]);
	  puts(d[1]?"0":"1");
	  return 0;
	 }
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&d[i]),d[i]--,sum+=d[i];
		if(d[i]==-1) ok=0;
	}
	if(sum!=n-2||!ok) return puts("0"),0;
	fun(n),sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans*=c[n-2-sum][d[i]],sum+=d[i];
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}