[ACM]【容斥原理/揹包DP】牛客練習賽64 寶石裝箱

寶石裝箱

傳送門
題意：n個物品裝入n個盒子，每個盒子都要裝一個物品。第i個物品不能裝進第$a_i$個盒子。求合法的裝法數。

思路：

第一眼看到這題，心想這不就是傳說中的錯排題目嗎？
回憶一下錯排題目的解法：

設$D_n$爲$n$個物品錯排的方案數目。有$D_1=0$，$D_2=1$。
當$n\geq 3$時，設$n$排在第$k$位，其中$k\not =n$，也就是$1\leq k\leq n-1$。那現在考慮$k$的情況：
（1）當$k$放在第$n$位時，錯排數$=D_{n-2}$
（2）當$k$，沒排在第$n$位時，此時等價於$D_{n-1}$
而$k$有從$1$到$n-1$共$n-1$種取法。
所以答案爲$D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$

可惜的是，這道題沒這麼簡單（。
注意哦，對於每一個盒子，可能有多個物品不能放進這裏。而對於每個物品，他可以放進除了該盒子以外的所有盒子。

這時候dalao們就要想到容斥原理的作法了。
容斥精講博文
如何容斥呢？
先認識一下容斥原理的公式吧：

設 U 種元素有 n 種不同的屬性，而第 i 種屬性稱爲$P_i$，擁有屬性$P_i$的元素構成集合$S_i$，那麼
$|\bigcup_{i=1}^nS_i|=\sum_i|S_i|-\sum_{i<j}|S_i\cap S_j|+\sum_{i<j<k}|S_i\cap S_j\cap S_k|-\cdots +(-1)^{m-1}\sum_{a_i<a_{i+1}}|\bigcap_{i=1}^mS_{a_i}|+\cdots+(-1)^{n-1}|S_1\cap\cdots\cap S_n|$
即
$|\bigcup_{i=1}^n S_i|=\sum_{m=1}^n(-1)^{m-1}\sum_{a_i<a_{i+1}}|\bigcap_{i=1}^mS_{a_i}|$

我們的目的是求得所有盒子都合法的方案個數。
設$\overline{S_i}$表示第$i$個盒子合法的方案集合。答案用集合表示就是$|\bigcap_{i=1}^n\overline {S_i}|$。（”$|$“表示元素個數還記得嗎）
由補集，我們知道
$|\bigcap_{i=1}^n\overline {S_i}|=|U|-|\bigcup_{i=1}^n{S_i}|$
易知$|U|=n!$，因此，我們可以通過計算$|\bigcup_{i=1}^n{S_i}|$得到答案。
而$|\bigcup_{i=1}^n{S_i}|$可以由容斥原理轉化爲
$\sum_{m=1}^n(-1)^{m-1}\sum_{a_i<a_{i+1}}|\bigcap_{i=1}^mS_{a_i}|$。

因此，只需要求出來$\sum_{a_i<a_{i+1}}|\bigcap_{i=1}^mS_{a_i}|$即可。
觀察一遍容斥原理的定義，把這條式子轉化爲文字描述：
在n個盒子中，每“m個盒子不合法的並集”的總和。

仔細理解這句描述，因爲在這句描述中，只考慮了m個盒子的狀態，此時其他(n-m)個盒子的狀態如何，是無所謂的。他們可以是合法的，亦可以是非法的。因爲容斥過了，$\sum_{m=1}^n(-1)^{m-1}\sum_{a_i<a_{i+1}}|\bigcap_{i=1}^mS_{a_i}|$這整個式子會把重複的方案減掉。因此，這句描述可以理解爲，每“至少m個盒子不合法的並集”的總和。

我們可以通過求每“m個盒子不合法的並集”的總和（不考慮其他盒子的是非）來求至少：在求到不考慮其他盒子的值之後，只需要乘上$(n-m)!$即可。

那如何求剛好呢？
通過動態規劃。設$DP(i,j)$爲考慮到第$i$個盒子的時候，已經發現$j$個盒子非法的方案數目，$DP(n,0)=1$，$DP(0,0)=1$（因爲我們不考慮其他的盒子的是非）。我們得到狀態轉移：
$DP(i,j)=DP(i-1,j)+DP(i-1,j-1)*b[i]$。
此處的$b[i]$爲當前盒子要非法時，可以選擇的物品數目。注意，因爲我們的$DP$考慮的是已經發現非法的方案數目，因此這個$b[i]$的選取並無後效性。（對於每個物品，他只有一個盒子不能放，這$b[i]$個物品不可能出現在狀態$DP(i-1,j-1)$那$j-1$個盒子之中）

答案爲$|U|-\sum_{m=1}^n(-1)^{m-1}\sum_{a_i<a_{i+1}}|\bigcap_{i=1}^mS_{a_i}|$
即$n!+\sum_{m=1}^n(-1)^mDP(n,m)\times (n-m)!$
即$\sum_{m=0}^n(-1)^mDP(n,m)\times (n-m)!$

在實現的過程中，用了空間優化。

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=8004;
const int mod=998244353;
ll dp[maxn],b[maxn],fac[maxn];
int main(){
	int n;
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=maxn;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	scanf("%d",&n);
	int tmp;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&tmp);
		b[tmp]++;
	}
	dp[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i;j>=1;j--){
			dp[j]=(dp[j]+dp[j-1]*b[i])%mod;
		}
	}
	ll ans=0;
	for(int i=0;i<=n;i++){
		if(i&1) ans-=dp[i]*fac[n-i];
		else ans+=dp[i]*fac[n-i];
		ans=(ans+mod)%mod;
	}
	printf("%lld\n",ans);
}