[ACM]【容斥原理/揹包DP】牛客练习赛64 宝石装箱

宝石装箱

传送门
题意：n个物品装入n个盒子，每个盒子都要装一个物品。第i个物品不能装进第$a_i$个盒子。求合法的装法数。

思路：

第一眼看到这题，心想这不就是传说中的错排题目吗？
回忆一下错排题目的解法：

设$D_n$为$n$个物品错排的方案数目。有$D_1=0$，$D_2=1$。
当$n\geq 3$时，设$n$排在第$k$位，其中$k\not =n$，也就是$1\leq k\leq n-1$。那现在考虑$k$的情况：
（1）当$k$放在第$n$位时，错排数$=D_{n-2}$
（2）当$k$，没排在第$n$位时，此时等价于$D_{n-1}$
而$k$有从$1$到$n-1$共$n-1$种取法。
所以答案为$D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$

可惜的是，这道题没这么简单（。
注意哦，对于每一个盒子，可能有多个物品不能放进这里。而对于每个物品，他可以放进除了该盒子以外的所有盒子。

这时候dalao们就要想到容斥原理的作法了。
容斥精讲博文
如何容斥呢？
先认识一下容斥原理的公式吧：

设 U 种元素有 n 种不同的属性，而第 i 种属性称为$P_i$，拥有属性$P_i$的元素构成集合$S_i$，那么
$|\bigcup_{i=1}^nS_i|=\sum_i|S_i|-\sum_{i<j}|S_i\cap S_j|+\sum_{i<j<k}|S_i\cap S_j\cap S_k|-\cdots +(-1)^{m-1}\sum_{a_i<a_{i+1}}|\bigcap_{i=1}^mS_{a_i}|+\cdots+(-1)^{n-1}|S_1\cap\cdots\cap S_n|$
即
$|\bigcup_{i=1}^n S_i|=\sum_{m=1}^n(-1)^{m-1}\sum_{a_i<a_{i+1}}|\bigcap_{i=1}^mS_{a_i}|$

我们的目的是求得所有盒子都合法的方案个数。
设$\overline{S_i}$表示第$i$个盒子合法的方案集合。答案用集合表示就是$|\bigcap_{i=1}^n\overline {S_i}|$。（”$|$“表示元素个数还记得吗）
由补集，我们知道
$|\bigcap_{i=1}^n\overline {S_i}|=|U|-|\bigcup_{i=1}^n{S_i}|$
易知$|U|=n!$，因此，我们可以通过计算$|\bigcup_{i=1}^n{S_i}|$得到答案。
而$|\bigcup_{i=1}^n{S_i}|$可以由容斥原理转化为
$\sum_{m=1}^n(-1)^{m-1}\sum_{a_i<a_{i+1}}|\bigcap_{i=1}^mS_{a_i}|$。

因此，只需要求出来$\sum_{a_i<a_{i+1}}|\bigcap_{i=1}^mS_{a_i}|$即可。
观察一遍容斥原理的定义，把这条式子转化为文字描述：
在n个盒子中，每“m个盒子不合法的并集”的总和。

仔细理解这句描述，因为在这句描述中，只考虑了m个盒子的状态，此时其他(n-m)个盒子的状态如何，是无所谓的。他们可以是合法的，亦可以是非法的。因为容斥过了，$\sum_{m=1}^n(-1)^{m-1}\sum_{a_i<a_{i+1}}|\bigcap_{i=1}^mS_{a_i}|$这整个式子会把重复的方案减掉。因此，这句描述可以理解为，每“至少m个盒子不合法的并集”的总和。

我们可以通过求每“m个盒子不合法的并集”的总和（不考虑其他盒子的是非）来求至少：在求到不考虑其他盒子的值之后，只需要乘上$(n-m)!$即可。

那如何求刚好呢？
通过动态规划。设$DP(i,j)$为考虑到第$i$个盒子的时候，已经发现$j$个盒子非法的方案数目，$DP(n,0)=1$，$DP(0,0)=1$（因为我们不考虑其他的盒子的是非）。我们得到状态转移：
$DP(i,j)=DP(i-1,j)+DP(i-1,j-1)*b[i]$。
此处的$b[i]$为当前盒子要非法时，可以选择的物品数目。注意，因为我们的$DP$考虑的是已经发现非法的方案数目，因此这个$b[i]$的选取并无后效性。（对于每个物品，他只有一个盒子不能放，这$b[i]$个物品不可能出现在状态$DP(i-1,j-1)$那$j-1$个盒子之中）

答案为$|U|-\sum_{m=1}^n(-1)^{m-1}\sum_{a_i<a_{i+1}}|\bigcap_{i=1}^mS_{a_i}|$
即$n!+\sum_{m=1}^n(-1)^mDP(n,m)\times (n-m)!$
即$\sum_{m=0}^n(-1)^mDP(n,m)\times (n-m)!$

在实现的过程中，用了空间优化。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=8004;
const int mod=998244353;
ll dp[maxn],b[maxn],fac[maxn];
int main(){
	int n;
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=maxn;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	scanf("%d",&n);
	int tmp;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&tmp);
		b[tmp]++;
	}
	dp[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i;j>=1;j--){
			dp[j]=(dp[j]+dp[j-1]*b[i])%mod;
		}
	}
	ll ans=0;
	for(int i=0;i<=n;i++){
		if(i&1) ans-=dp[i]*fac[n-i];
		else ans+=dp[i]*fac[n-i];
		ans=(ans+mod)%mod;
	}
	printf("%lld\n",ans);
}