树状数组应用总结

前言

做个总结，忘记之后再翻翻

首先明确一下树状数组的结构性质：

1.每个内部节点$c[x]$保存以它为根的子树中所有叶节点的和

2.每个内部节点$c[x]$的子节点个数等于$lowbit(x)$的位数，即位为1的数量

例如：
$x=9=2^3+2^1$，分为$[1,8],[9,9]$两个区间，区间和分别为$c[8],c[9]$
$x=13=2^3+2^2+2^0$，分为$[1,8],[9,12],[13,13]$三个区间，区间和分别为$c[8],c[12],c[13]$

3.除树根外，每个内部节点$c[x]$的父节点是$c[x+lowbit(x)]$

4.树的深度为$O(logN)$。因此可以保证在$O(logN)$的时间内查询前缀和

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树状数组应用总结

主要分为三种：

• 单点修改，单点查询(最基础)
• 区间修改，单点查询
• 区间修改，区间查询

应用一：单点修改，单点查询

最基础的定义

查询
int ask(int x)
{
    int ans=0;
    for (;x;x-=x&-x)ans+=c[x];
    return ans;
}

修改
void add(int x,int y)
{
    for (;x<=n;x+=x&-x)c[x]+=y;
}

例题：POJ2182
题意：有$n$头奶牛，身高$1-n$不等，站成一列，已知第$i$头奶牛前面有$A_i$头比他矮，求出所有身高。
思路：从后往前思考。$A_n$表示前$n-1$头牛有$A_n$头比最后一头矮，由于不存在重复身高，最后一头牛的身高肯定是排第$A_n+1$位的，同理第$i$头的身高一定是排第$A_i+1$位，但是已经出现过的身高就得排除。可以通过维护一个初始全1的01序列，查询第$k$个1的位置并且将其修改为0。用二分+树状数组即可
代码：

int n,A[maxn],c[maxn],ans[maxn];
int ask(int x){int ans=0;for(;x;x-=x&-x)ans+=c[x];return ans;}
void add(int x,int y){for(;x<=n;x+=x&-x)c[x]+=y;}
int solve(int x)
{
    int l=1,r=n;
    while(l<r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if (ask(mid)<x)l=mid+1;
        else r=mid;
    }
    return l;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    A[1]=0;rep(i,2,n)scanf("%d",&A[i]);
    rep(i,1,n)add(i,1);
    for (int i=n;i>=1;i--)
    {
        ans[i]=solve(A[i]+1);
        add(ans[i],-1);
    }
    rep(i,1,n)W(ans[i]);
}

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应用二：区间修改，单点查询

新建数组$b$，前缀和$b[1$~$x]$反映了指令"C l r d"对$a[x]$的影响
1.把$b[l]+d$
2.把$b[r+1]-d$
观察一下数组$b$的变化：
1.当$1\leq x< l$时：前缀和$b[1$~$x]$无变化
2.当$l \leq x \leq r$时：前缀和$b[1$~$x]$增加了$d$，因为$b[l]$增加了$d$
3.当$r< x \leq n$时：前缀和$b[1$~$x]$，因为一加一减刚好抵消

也就是说 对于区间$[l,r]$内的数的影响，都体现在了数组$b$的前缀和中
而求前缀和就是树状数组的基础操作，累加上原先的$a[x]$即可得到"Q x"的答案

蓝书例题：
代码：

int n,m,l,r,x,a[maxn],c[maxn];
char s[5];
int ask(int x){int ans=0;for (;x;x-=x&-x)ans+=c[x];return ans;}
void add(int x,int y){for (;x<=n;x+=x&-x)c[x]+=y;}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    rep(i,1,n)scanf("%d",&a[i]);
    while(m--)
    {
        scanf("%s",s);
        if (s[0]=='Q')
        {
            scanf("%d",&x);
            W(ask(x)+a[x]);
        }
        else if (s[0]=='C')
        {
            scanf("%d%d%d",&l,&r,&x);
            add(l,x);
            add(r+1,-x);
        }
    }
}

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应用三：区间修改，区间查询

首先仍是维护一个数组$b$，$a[x]$变化量就是前缀和$b[1$~$x]$
那么原数组$a$的前缀和$a[1$~$x]$变化量就是：
$\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^i b[j]=(x+1)\sum_{i=1}^x b[i]-\sum_{i=1}^x (i×b[i])$
第一部分就是维护$b$的前缀和
第二部分就是维护$i×b[i]$的前缀和，令$i×b[i]=c2[x]$
由于只是乘了个$i$，故与之前对应的操作是：
1.把$c2[l]+ld$
2.把$c2[r+1]-(r+1)d$
观察一下数组$b$的变化：
当$l \leq x \leq r$时：前缀和$c2[1$~$x]$增加了$ld$，因为$c2[l]$增加了$ld$

综上所述：$a$的原始前缀和+$a$的前缀和变化量即为最终的$a$的前缀和
$Sum[r]=sum[r]+(r+1)\sum_{i=1}^r b[i]-\sum_{i=1}^r (i×b[i])$
$=sum[r]+(r+1)ask1(r)-ask2(r)$

区间查询即输出$Sum[r]-Sum[l-1]$

蓝书例题：
代码：

int n,m;
ll a[maxn],c1[maxn],c2[maxn],sum[maxn],l,r,x;
char s[5];
ll ask1(ll x){ll ans=0;for(;x;x-=x&-x)ans+=c1[x];return ans;}
ll ask2(ll x){ll ans=0;for(;x;x-=x&-x)ans+=c2[x];return ans;}
void add1(ll x,ll y){for(;x<=n;x+=x&-x)c1[x]+=y;}
void add2(ll x,ll y){for(;x<=n;x+=x&-x)c2[x]+=y;}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    rep(i,1,n)scanf("%lld",&a[i]),sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    while(m--)
    {
        scanf("%s",s);
        scanf("%lld%lld",&l,&r);
        if (s[0]=='Q')
        {
            ll ans1=sum[r]-sum[l-1];
            ll ans2=(r+1)*ask1(r)-l*ask1(l-1);
            ll ans3=-ask2(r)+ask2(l-1);
            WW(ans1+ans2+ans3);
        }
        else
        {
            scanf("%lld",&x);
            add1(l,x);
            add1(r+1,-x);
            add2(l,l*x);
            add2(r+1,-(r+1)*x);
        }
    }
}