算法導論 — 8.2 計數排序

筆記

假設輸入的$n$個元素中的每一個都是在$0$ ~ $k$內的一個整數。$k$表示了輸入元素所處的範圍。一般在$k$遠小於$n$時，可以採用計數排序算法。
　　計數排序的基本思想是：對每一個輸入元素$x$，確定小於$x$的元素個數。利用這一信息，可以直接把$x$放到正確的位置。例如，如果有$17$個元素小於$x$，則x就應該放在第$18$個位置上。
　　以下爲計數排序的僞代碼。假設輸入數組爲$A[1..n]$，輸出數組爲$B[1..n]$，另外還有一個數組$C[0..k]$提供臨時存儲空間。
　　
　　下圖給出了一個例子，輸入數組爲$<2, 5, 3, 0, 2, 3, 0, 3>$。
　　
　　在計數排序的僞代碼中，第$2$ ~ $3$行的for循環所花時間爲$Θ(k)$，第$4$ ~ $5$行的for循環所花時間爲$Θ(n)$，第$7$ ~ $8$行的for循環所花時間爲$Θ(k)$，第$10$ ~ $12$行的for循環所花時間爲$Θ(n)$。這樣，計數排序總的時間代價爲$Θ(k+n)$。在實際應用中，一般在$k = O(n)$時纔會應用計數排序，此時計數排序的運行時間爲$Θ(n)$。
　　在8.1節，我們得到結論，比較排序的運行時間的下界爲$Ω(n{\rm lg}n)$。然而計數排序的運行時間是優於$Ω(n{\rm lg}n)$的，因爲它並不是一個比較排序算法。
　　計數排序還是一個穩定排序算法，這一玄機在於僞代碼的第$10$行，從後向前遍歷輸入數組$A[1..n]$。假如在$A[1..n]$存在一組數值相同的元素，位置靠後的元素先取出，它在輸出數組中的位置也相對靠後；而位置靠前的元素後取出，它在輸出數組中的位置也相對靠前。

練習

8.2-1 參照圖8-2的方法，說明$COUNTING-SORT$在數組$A = <6, 0, 2, 0, 1, 3, 4, 6, 1, 3, 2>$上的操作過程。
　　解
　　
　　
8.2-2 試證明$COUNTING-SORT$是穩定的。
　　略

8.2-3 假設我們在$COUNTING-SORT$的第10行循環的開始部分，將代碼改寫爲：
　　
　　試證明該算法仍然是正確的。它還穩定嗎?
　　略

8.2-4 設計一個算法，它能夠對於任何給定的介於$0$到$k$之間的$n$個整數先進行預處理，然後在$O(1)$時間內回答輸入的$n$個整數中有多少個落在區間$[a..b]$內。你設計的算法的預處理時間應爲$Θ(n+k)$。
　　解
　　以下直接給出僞代碼。
　　

本節相關代碼鏈接：
　　https://github.com/yangtzhou2012/Introduction_to_Algorithms_3rd/tree/master/Chapter08/Section_8.2